Determinanta matrice

[Shadowman]

Imao sam skoro jednu zadaću u kojoj je kao međurezultat zatrebala determinanta jedne matrice. Zadatak je vrlo zabavan kao vježba. Matrica je nxn. Na dijagonali su sve vrijednosti jednake a, a sve ostale vrijednosti u matrici su jednake b. Hajde probajte.

Primjer matrice:

| a b b b |
| b a b b |
| b b a b |
| b b b a |

[matematicar]

Shadowman kaže:
Imao sam skoro jednu zadaću u kojoj je kao međurezultat zatrebala determinanta jedne matrice. Zadatak je vrlo zabavan kao vježba. Matrica je nxn. Na dijagonali su sve vrijednosti jednake a, a sve ostale vrijednosti u matrici su jednake b. Hajde probajte.

Primjer matrice:

| a b b b |
| b a b b |
| b b a b |
| b b b a |

Da, svidja mi se sto uopce nema racunanja.
Cisto da ne upropastim zabavu drugima, reci cu samo rjesenje:

det(n)=(a-b)^(n-1) * [a+(n-1)b]

[math_baby]

Evo, rijesila sam!

Oznacimo Shadowmanovu matricu reda n sa M_n.

Iz elementarne teorije determinanata poznato je da vrijedi ovo: kada jednom stupcu (ili retku) matrice pribrojimo neki drugi stupac (ili redak), determinanta matrice se ne mijenja.

Koristeci se tom cinjenicom, izvrsit cemo transformaciju matrice M_n koja ce nam olaksati racunanje njene determinante.

Prvo, zbrojimo medjusobno sve stupce, od drugog do zadnjeg. Tako zbrojene stupce dodamo prvom stupcu. Dobijemo matricu cija je determinanta jednaka det(M_n), koja izgleda ovako:

|a+(n-1)*b b b b ... b|
|a+(n-1)*b a b b ... b|
|a+(n-1)*b b a b ... b|
|a+(n-1)*b b b a ... b|
|............................|
|............................|
|a+(n-1)*b b b b ... a|

Sada uzmemo gornju matricu i od svakog reda oduzmemo prvi red, pocevsi od drugog, pa sve do zadnjeg. Dobit cemo gornju trokutastu matricu cija determinanta je jednaka det(M_n), i na cijoj dijagonali se, redom, nalaze ovi elementi:

a+(n-1)*b, (a-b), (a-b), ..., (a-b) <---- izraz (a-b) ponavlja se n-1 puta.

Buduci da je determinanta gornje trokutaste matrice jednaka produktu elemenata na dijagonali, zakljucujemo da je determinanta od M_n jednaka produktu gore napisanih brojeva, tj. da je

det(M_n) = (a+(n-1)*b)*(a-b)^(n-1)

pozdrav svima,
math_baby

[Shadowman]

Izgleda da je bilo prelako.

[The_Equilibrist]

Ok, istina da nisam bas obracao puno paznju, ali... kad se math_baby vratila?