Vizualne više dimenzije

[Omega Phoenix]

Batt_X kaže:

Simetrije vezane uz broj 5.
U 2D pentagon i pentagram.
U 3D dodekaedar i ikozaedar.
U 4D hekatonikozakoron (120 cell) i heksakozakoron (600 cell).
U 5D ih više nema.

Sve te simetrije imaju ugrađen zlatni rez (1,618033989).

Zašto baš uz broj 5?
5D predmet je previše promjenjen pa ne vlada simetrija ili...? Ne mogu skužit na temelju ovoga što si napisao što zapravo misliš

[Batt_X]

PhoeNiX_ReMinD kaže:

Zašto baš uz broj 5?
5D predmet je previše promjenjen pa ne vlada simetrija ili...? Ne mogu skužit na temelju ovoga što si napisao što zapravo misliš

Postoji matematička zakonitost. To ti je proučavao Schläfli.
U 2D postoji beskonačno regularnih politopa.
Trokut, četverokut, peterokut, šesterokut...n-terokut

U 3D ih je samo 5 i nazivaju se platonovim tijelima:
tetraedar, oktaedar, kocka, dodekaedar i ikozaedar

U 4D ih je najviše, tj. ima ih 6:
5 cell-pentakoron (napravio sam vam ga), 8 cell-oktakoron ili teserakt (i njega, to je hiperkocka), 16 cell-heksadekakoron ili tetrakros (i njega), 24 cell-ikozatetrakoron (njega još nisam), 120 cell-hekatonikozakoron (e to će biti poslastica sad kad imam koordinate i veze), i 600 cell-heksakozakoron (a tek to kad složim...daje prekrasne rozete, kao u gotičkim katedralama).

u 5D ih je samo 3 i tako se nastavlja u svim višim dimenzijama:
heksateron, dekateron (napravio sam vam, to je 5D hiperkocka), triakontakaiditeron ili pentakross (napravit ću jednom i njega). Više nema nasljednika ikozaedra i dodekaedra, tj. pentamernih simetrija. Nasljeđuju se samo križevi, kocke i tetraedri (simplexi).

Tvoje pitanje...zašto...nemam pojma. Pitanje se svodi i na ovo: zašto nema beskonačno 3D pravilnih politopa? Zašto samo 5? Zašto ne možeš imati heptaedar? Ili nonaedar? Ili pentaedar?

[Batt_X]

120 cell, hekatonikozakoron, vjerojatno najljepši 4D pravilni politop.
Ekvivalent dodekaedru u 3 dimenzije.

Sad se trudim napraviti animirani gif, dovoljno mali da vam pošaljem. Dakako, napravio sam rotacije i sve.
Imam i 600 cell, ali on mi nije tako lijep.
Pošaljem i njega.

[Omega Phoenix]

Nice work man! Lijepo izgleda.
Jel možeš poslati neku sliku kocke 2D iz 4D tak da vidim kak se to vidi na papiru (naravno bez da dodaš 3D efekt). Samo me zanima dal uopće dobro crtam sve to. Ja sam si uzeo da radim zrcalni odraz preko jednog kuta koji je stalno u dodiru s tom ''linijom'' pa se povremeno pri rotaciji linija i taj brid poklope i onda se dobi ona pravilna slika ''ruske babuške'' kocke.
I ako možeš podebljaj rubove kocke ''polaznice'' s jednom bojom, kocku zrcalni odraz drugom bojom,a linije spajanja vrhova 3D i 4D s drugom bojom. Možeš to? Tj. napravi to kako ti to radiš. Kužiš na šta mislim? I par slikica onako stavi. To bu bolje objasnilo nego ono rastvaranje kocke u 4D,ali i to napravi ako imaš vremena

[Omega Phoenix]

Batt_X kaže:

Pitanje. Prati gornje poveznice između 3D i 4D. Spojio si dalje 3D kutove s daljima 4D kutovima. A ako je to zrcalni odraz,tada su dalji 3D kutovi u zrcalnom odrazu oni bliži 4D kutovi,pa ne bi li to onda trebalo drukčije povezati?

[Batt_X]

PhoeNiX_ReMinD kaže:

Pitanje. Prati gornje poveznice između 3D i 4D. Spojio si dalje 3D kutove s daljima 4D kutovima. A ako je to zrcalni odraz,tada su dalji 3D kutovi u zrcalnom odrazu oni bliži 4D kutovi,pa ne bi li to onda trebalo drukčije povezati?

Nije zrcalni odraz.

[Omega Phoenix]

Znači stvar je u pomaku predmeta u prostoru. Zato se i zove prostorvremenska dimenzija,ali neću sad mješati vrijeme. Koliko ti i kamo pomakneš te svoje 3D animacije da dobiš 4D? Mislim koliko u dubinu

[Batt_X]

PhoeNiX_ReMinD kaže:

Znači stvar je u pomaku predmeta u prostoru. Zato se i zove prostorvremenska dimenzija,ali neću sad mješati vrijeme. Koliko ti i kamo pomakneš te svoje 3D animacije da dobiš 4D? Mislim koliko u dubinu

Onoliko koliko je predmet dubok u 4D. Ti stalno misliš da ja kreiram predmete odokativno.
Ako kocka ima brid 1m, pa onda je valjda od centra svaka tocka pomaknuta pola metra u svaku dimenziju. Pola metra u prvoj, pola u drugoj, pola u trecoj i pola u cetvrtoj. Pitagorin teorem za 4. tu je isti kao i za treci samo ima jos jednu koordinatu:

l^2=x^2+y^2+z^2+w^2

Dakle, pomaknem ih tamo kamo i trebaju biti.

[Omega Phoenix]

Batt_X kaže:

Onoliko koliko je predmet dubok u 4D. Ti stalno misliš da ja kreiram predmete odokativno.
Ako kocka ima brid 1m, pa onda je valjda od centra svaka tocka pomaknuta pola metra u svaku dimenziju. Pola metra u prvoj, pola u drugoj, pola u trecoj i pola u cetvrtoj. Pitagorin teorem za 4. tu je isti kao i za treci samo ima jos jednu koordinatu:

l^2=x^2+y^2+z^2+w^2

Dakle, pomaknem ih tamo kamo i trebaju biti.

Centra kocke misliš? Može nekakva skica pls? Tako buš uštedio na objašnjavanju

[Batt_X]

PhoeNiX_ReMinD kaže:

Centra kocke misliš? Može nekakva skica pls? Tako buš uštedio na objašnjavanju

Pa iz centra, da. Centar kocke je u točki (0;0;0;0)
Prvu točku pomaknem u (-10;-10;-10;-10) jer je brid kocke 20 (mjernih jedinica)
Drugu točku u (10;-10;-10;-10);
Trecu tocku u (-10;10;-10;-10)...
Cetvrtu tocku u (10;10;-10;-10)
Petu tocku u (-10;-10;10;-10)
...
Osmu tocku u (10;10;10;-10)


Kao sto vidis sve tocke su po zadnjoj koordinati na -10. Tada iducih 8 tocaka stavim u +10. Tako imam dvije kocke. Jedna izvucena u cetvrtoj dimenziji za 10 (zato minus), a druga udaljena za 10 (zato plus).
I to je to.
16 tocaka teserakta. 8 ih je blize u 4-toj dimenziji, 8 ih je dalje.
Bas kao sto su 4 po 4 blize u trecoj dimenziji i 4 po 4 dalje u trecoj.

[Omega Phoenix]

Ovaj zadnji -10 i +10 se zapravo odnose na neki dodatni zamišljeni pravac (ipak 4D pa 4 koordinate točke), pa kada je točka s jedne strane je -10 a s druge +10?
Jedino mi je problem što si to nikako ne mogu zamislit u odnosu na šta točno bi bila ta 4.koordinata i gdje se to nešto bi nalazilo s obzirom na ovaj normalan koordinatan sustav. Znam da ima x,y,z,w recimo, ali ne kužim kuda ide taj w pravac koji određuje te zadnje koordinate.
Prije si to nekome objasnio s papirom i okomicom na papir,ali ima li taj w pravac još nekakvo objašnjenje kako da si ga zamislim kao dodatnu koordinatnu os 3D koordinatnom sustavu tako da bude 4D?

[Batt_X]

PhoeNiX_ReMinD kaže:

Ovaj zadnji -10 i +10 se zapravo odnose na neki dodatni zamišljeni pravac (ipak 4D pa 4 koordinate točke), pa kada je točka s jedne strane je -10 a s druge +10?

Upravo tako. Sa jedne i druge strane po šetvrtoj dimenziji.

Jedino mi je problem što si to nikako ne mogu zamislit u odnosu na šta točno bi bila ta 4.koordinata i gdje se to nešto bi nalazilo s obzirom na ovaj normalan koordinatan sustav.

Okomito na sva tri pravca "normalnog", tj. trodimenzionalnog sustava. 4. pravac kojega ne možeš zamisliti jer je naš svemir trodimenzionalan, naše iskustvo je trodimenzionalno, i za sada ne primjećujemo ni jedan fizikalni zakon, ni jednu silu koja bi iskakala izvan toga.
Odnosno, vjerojatno iskaču, ali si mi to ne želimo priznati.

Znam da ima x,y,z,w recimo, ali ne kužim kuda ide taj w pravac koji određuje te zadnje koordinate.

Duž još jednog, četvrtog pravca, okomitog na ostala tri.

Prije si to nekome objasnio s papirom i okomicom na papir,ali ima li taj w pravac još nekakvo objašnjenje kako da si ga zamislim kao dodatnu koordinatnu os 3D koordinatnom sustavu tako da bude 4D?

Nikako osim indukcijom.
Zamišljaš kako se treća dimenzija odnosi na drugu, i jednako tako se četvrta odnosi na preostale tri. Varijacije na temu.

[Omega Phoenix]

Nažalost jasno mi je bilo da je četvrta okomita na ove 3 tako da...
Jel možeš nekim jednostavnim crtežom objasniti princip svog rada? Sigurno nekako možeš. Ako ne drugačije,tada stavi barem 4 slike kako dobivaš vrhove 4D kocke iz 3D. Onako 2 po 2 vrha. Ili tako nekako uglavnom

[Batt_X]

Budem.
U međuvremenu, pokušat ću uploadati sve ove gomile slika i animacija koje sam napravio za weekend dok sam bio u jednom malom gradiću blizu Rijeke.

Prvi na redu je 24 cell, kojega, vjerujem još niste vidjeli.
Nakon toga slijede animacije 600 cell i 120 cell.

ikozatetrakoron, 24 cell
Nema svog analogona u tri dimenzije (jer u 4D ima 6 regularnih politopa, dok u 3D ih ima samo 5)

[Batt_X]

Inače, na
http://www.vorthmann.org/zome/sixfol...try/16cell.vef
http://www.vorthmann.org/zome/sixfol...try/24cell.vef
http://www.vorthmann.org/zome/sixfol...ry/120cell.vef
http://www.vorthmann.org/zome/sixfol...ry/600cell.vef
su fileovi sa koordinatama.
Napisao sam skriptu koja to koristi kako bi u 3d studio Maxu konstruirala 4D politope.

Ovdje je primjer podataka za 24 cell:

24
(0,-2) (0,0) (0,0) (0,0)
(0,0) (0,-2) (0,0) (0,0)
(0,0) (0,0) (0,-2) (0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,-2)
(0,2) (0,0) (0,0) (0,0)
(0,0) (0,2) (0,0) (0,0)
(0,0) (0,0) (0,2) (0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,2)
(0,-1) (0,-1) (0,-1) (0,-1)
(0,-1) (0,-1) (0,-1) (0,1)
(0,-1) (0,-1) (0,1) (0,-1)
(0,-1) (0,-1) (0,1) (0,1)
(0,-1) (0,1) (0,-1) (0,-1)
(0,-1) (0,1) (0,-1) (0,1)
(0,-1) (0,1) (0,1) (0,-1)
(0,-1) (0,1) (0,1) (0,1)
(0,1) (0,-1) (0,-1) (0,-1)
(0,1) (0,-1) (0,-1) (0,1)
(0,1) (0,-1) (0,1) (0,-1)
(0,1) (0,-1) (0,1) (0,1)
(0,1) (0,1) (0,-1) (0,-1)
(0,1) (0,1) (0,-1) (0,1)
(0,1) (0,1) (0,1) (0,-1)
(0,1) (0,1) (0,1) (0,1)
96
0 8
8 9
9 0
8 10
10 0
1 8
9 1
10 1
10 11
11 0
9 11
11 1
8 12
12 0
2 8
9 2
12 2
12 13
13 0
9 13
13 2
3 8
10 3
12 3
12 14
14 0
10 14
14 3
8 16
16 1
16 2
9 17
17 1
17 2
16 17
16 3
10 18
18 1
16 18
18 3
16 20
20 2
20 3
12 20
14 15
15 0
13 15
5 12
13 5
14 5
15 5
11 15
6 10
11 6
14 6
15 6
7 9
11 7
13 7
15 7
11 19
19 1
18 19
18 6
19 6
17 7
17 19
19 7
17 21
21 2
13 21
21 7
4 16
17 4
18 4
19 4
20 4
20 21
21 4
20 22
22 3
18 22
22 4
20 5
21 5
14 22
22 5
22 6
22 23
23 4
21 23
23 5
19 23
23 6
23 7
15 23
96
3 0 8 9
3 0 8 10
3 1 8 9
3 1 8 10
3 0 10 11
3 0 9 11
3 1 10 11
3 1 9 11
3 0 8 12
3 2 8 9
3 2 8 12
3 0 12 13
3 0 9 13
3 2 9 13
3 2 12 13
3 3 8 10
3 3 8 12
3 0 12 14
3 0 10 14
3 3 12 14
3 3 10 14
3 1 8 16
3 2 8 16
3 1 9 17
3 2 9 17
3 1 16 17
3 2 16 17
3 3 8 16
3 1 10 18
3 1 16 18
3 3 16 18
3 3 10 18
3 2 16 20
3 3 16 20
3 2 12 20
3 3 12 20
3 0 14 15
3 0 13 15
3 5 12 13
3 5 12 14
3 5 14 15
3 5 13 15
3 0 11 15
3 6 10 11
3 6 10 14
3 6 14 15
3 6 11 15
3 7 9 11
3 7 9 13
3 7 13 15
3 7 11 15
3 1 11 19
3 1 18 19
3 6 10 18
3 6 18 19
3 6 11 19
3 7 9 17
3 1 17 19
3 7 17 19
3 7 11 19
3 2 17 21
3 2 13 21
3 7 17 21
3 7 13 21
3 4 16 17
3 4 16 18
3 4 18 19
3 4 17 19
3 4 16 20
3 2 20 21
3 4 20 21
3 4 17 21
3 3 20 22
3 3 18 22
3 4 20 22
3 4 18 22
3 5 12 20
3 5 20 21
3 5 13 21
3 3 14 22
3 5 20 22
3 5 14 22
3 6 18 22
3 6 14 22
3 4 22 23
3 4 21 23
3 5 22 23
3 5 21 23
3 4 19 23
3 6 22 23
3 6 19 23
3 7 21 23
3 7 19 23
3 5 15 23
3 6 15 23
3 7 15 23

Na početku su (odmah iza broja koji pokazuje koliko ima točaka), koordinate tih točaka, a onda ih slijedi broj rubova i poveznice te broj poligona i točke koje ih čine.
Koordinate točaka su rastavljene na komponentne, i svaka komponenta (x, y, z i w) je u svojoj zagradi.
Prvi broj pokazuje multiplikator zlatnog broja (1.618033), a drugi broj se tome pribraja.
Samo 120 cell i 600 cell imaju pentamerne simetrije, i time zlatni broj sudjeluje u njihovim koordinatama. Svi ostali imaju taj prvi broj 0.

Tako npr (1,0) označava 1*FI+0=FI.
(-1,1) označava -FI+1=-1.618033+1=0.618033=1/FI
(-2,1) oznacava -2*FI+1=-(1+SQRT(5))+1=-SQRT(5)
(1,1) oznacava FI+1=2,618033989=FI^2
...

Ukratko, tim se kombinacijama mogu dobiti svi slucajevi koordinata za 16cell, 24 cell, 120 cell i 600 cell, bez upotrebe decimalnih brojeva.

A evo moje skripte koja to čita:

--4D polytopes
--programmed by EPC
vertCoords=#()
edges=#()
faces=#()
faceVerts=#()

rotationPts=#()
rotationPts[1]=#()
rotationPts[2]=#()

num_verts=0
num_edges=0
num_faces=0

projectionPts=#()
polygons=#()
spheres=#()
cylinders=#()

fi=(1+sqrt(5))/2.0
focus=10.0
dist=30.0
magnitude=6
edgeSize=0.2
denom=0.0
pt=[0.0,0.0,0.0]
rotAngles=#(0.0,0.0)
projectionPts=#()

in_name="120cell.txt"
progressStart "Loading data"
if in_name != undefined then
(
in_file=openFile in_name
if in_file != undefined then
(

num_verts=readValue in_file
format "Vrhova: %\n" num_verts
for j = 1 to num_verts do
(
vertCoords[j]=#()
for i= 1 to 4 do
(
str=readDelimitedString in_file "("
val=fi*readValue in_file
vertCoords[j][i]=magnitude*(val+readValue in_file)
)
)
readLine in_file
progressUpdate 33

num_edges=readValue in_file
format "Rubova: %\n" num_edges
for j=1 to num_edges do
(
edges[j]=#(1+readValue in_file, 1+readValue in_file)
)
progressUpdate 66

num_faces=readValue in_file
format "Stranica: %\n" num_faces
for j=1 to num_faces do
(
faceVerts[j]=readValue in_file
faces[j]=#()
for i= 1 to faceVerts[j] do
(
faces[j][i]=1+readValue in_file
)
)
progressUpdate 99
close in_file
)


)
progressEnd()

progressStart "Building elements..."
for j=1 to num_verts do
(
denom=focus+dist+vertCoords[j][4]
pt=[vertCoords[j][1]*focus/denom, vertCoords[j][2]*focus/denom, vertCoords[j][3]*focus/denom]
projectionPts[j]=pt
spheres[j]=Sphere()
spheres[j].radius=edgeSize/2.0
spheres[j].pos=projectionPts[j]
progressUpdate (33*j/num_verts)
)


for j= 1 to num_edges do
(
cylinders[j]=Cylinder()
cylinders[j].Height_Segments=1
cylinders[j].sides=16
cylinders[j].radius=edgesize/2.0
cylinders[j].height=distance projectionPts[edges[j][2]] projectionPts[edges[j][1]]
cylinders[j].pos=projectionPts[edges[j][1]]
cylinders[j].dir=(projectionPts[edges[j][2]]-projectionPts[edges[j][1]])
progressUpdate (33+33*j/num_edges)
)

for j= 1 to num_faces do
(
polygons[j]=NGon()
polygons[j].radius=1.0
polygons[j].nSides=faceVerts[j]
polygons[j]=convertToPoly(polygons[j])
for i= 1 to faceVerts[j] do
polyOp.setVert polygons[j] i projectionPts[faces[j][i]]
progressUpdate (66+33*j/num_faces)
)
progressEnd()

--dinamika
progressStart "Animation"
animate on
for t = 0 to 150 do
(
at time t
(
rotAngles[1]=360.0*t/50.0
rotAngles[2]=360.0*t/75.0
for i=1 to num_verts do
(

rotationPts[1][1]=vertCoords[i][1]*cos(rotAngles[1])+vertCoords[i][4]*sin(rotAngles[1])
rotationPts[1][2]=vertCoords[i][2]
rotationPts[1][3]=vertCoords[i][3]
rotationPts[1][4]=vertCoords[i][4]*cos(rotAngles[1])- vertCoords[i][1]*sin(rotAngles[1])

rotationPts[2][1]=rotationPts[1][1]
rotationPts[2][2]=rotationPts[1][2]
rotationPts[2][3]=rotationPts[1][3]*cos(rotAngles[2])+rotationPts[1][4]*sin(rotAngles[2])
rotationPts[2][4]=rotationPts[1][4]*cos(rotAngles[2])- rotationPts[1][3]*sin(rotAngles[2])

denom=focus+dist+rotationPts[2][4]
pt=[rotationPts[2][1]*focus/denom,rotationPts[2][2]*focus/denom,rotationPts[2][3]*focus/denom]
projectionPts[i]=pt
spheres[i].pos=projectionPts[i]
)
for j= 1 to num_edges do
(
cylinders[j].height=distance projectionPts[edges[j][2]] projectionPts[edges[j][1]]
cylinders[j].pos=projectionPts[edges[j][1]]
cylinders[j].dir=(projectionPts[edges[j][2]]-projectionPts[edges[j][1]])
)

for j= 1 to num_faces do
(
for i=1 to faceVerts[j] do
(
polyOp.setVert polygons[j] i projectionPts[faces[j][i]]
)
)
progressUpdate (100*t/150)
)
)
progressEnd()

[Batt_X]

Evo rotacije, po meni, najljepšeg 4D politopa, hekatonikozakorona, 120 cell.



Prilikom pažljivijeg promatranja vide se ćelije, tj. 3D tijela, dodekaedri, koji čine oplošje hekatonikozakorona. Oni se vrte i gibaju unutar volumena projekcije hekatonikozakorona. Ima ih ukupno 120. Otuda i naziv 120 cell.
Ovaj politop ima 600 vrhova.

[Batt_X]

I na kraju, evo i njega:

Heksakozakoron, 600 cell, animirani.
Analogon ikozaedra u 3D.
Također ako se bolje pogleda, vidjet će se kako se unutar njega vrte tetraedri, ćelije koje čine oplošje, a kojih ima 600.
Ovaj politop ima ukupno 120 vrhova.

[Batt_X]

Evo zaustavljenog heksakozakorona, u visokoj rezoluciji.

[Batt_X]

Evo 120 cell i 600 cell prikazanih sa kuglicama i tankim spojnicama.

[indigocakra]

zanimljivo je da vecina oblika tezi ka sferi...