Problematika integrala

[chomacho]

Vjerujem da će se naći mnogi od vas koji će mi pomoći, ipak nema matematike bez filozofije.


Ako je rezultat određenog integrala (jednodimenzionalnog) površina ispod grafa funkcije, kako taj rezultat može biti apsolutno točan? Naime, slikovito opisujući, taj proces se vrši upisivanjem i opisivanjem BESKONAČNOG (mrzim tu riječ) broja pravokutnika u "svakoj" točki intervala i zbrajanjem diferencijala površina... u toj mjeri da oni (opet slikovito) postanu maltene crte.
Dakle, ja se slažem da taj rezultat u beskonačnosti teži u taj apsolutni broj, ali nije li tada greška u tom rezultatu beskonačno malena?

Ako me netko nije dobro shvatio uzet ću kao ilustraciju još i zbrajanje razlomaka, da se dobije uvid što mene točno muči.
3/3=1, dakle 1/3+1/3+1/3=3/3. E sad svaku jednu trećinu prvo podijelite pa onda zbrojite. Dobije se 0.333333blabla, i kad tako zbrojite tri puta dobije se 0.9999999blabla, što u konačnici nije JEDAN, nego približno jedan.
Dakle, ja sebi mentalno te tri trećine mogu podijeliti na tri savršeno jednaka dijela, gdje ću ja svaku jednu trećinu promatrati kao apsolutan broj, ali samo dok ju gledam kao razlomak koji ne dijelim, čim ju sagledam na onaj drugi način- sranje.

Nadam se da ste me shvatili i da će me barem netko prosvijetliti.

[nitko drugi]

link

[chomacho]

Eto isti problem, ali mi i dalje nije jasno kako težnja u beskonačnosti k nečemu može biti to nešto. Onda nebi bila težnja. A druga je stvar što su ljudi 0.99999>> proglasili za jedan. Ja ne želim. :-S

[nitko drugi]

A Ahil je baš to želio, kad je hvatao onu kornjaču, ali nikako da uspije. Ali, daj ti meni reci kolika je razlika između 0.999999999999999... i 1?

[_nobody_]

Infinitezimalni racun... 1/3 + 1/3 + 1/3 jeste 1... A onaj beskonacno mali ostatak... Taj je zanemarljiv.

Ako nije... Nesto nije u redu u tvom poimanju Sveta... KirJanja-ov Efekat!

_nobody_

[chomacho]

Infinitezimalni racun... 1/3 + 1/3 + 1/3 jeste 1... A onaj beskonacno mali ostatak... Taj je zanemarljiv.

Ali i dalje postoji... ako ti zanemaruješ postojanje, onda nešto nije u redu sa tvojim poimanjem svijeta. =)

@nitko drugi
Pa ta razlika je upravo to o čemu pričam... beskonačno malena. Dakle rezultat integrala ima beskonačno malenu pogrešku. xD

[nitko drugi]

Dobro, pusti integrale, razumljivije je na jednostavnijem primjeru.

Je li 1/3 = 0.33333333... (s beskonačno mnogo trica)?
Je li 3* 1/3 = 1?
Je li 3 * 0.333333333.... = 0.9999999999....?

Odgovor na samo jedno od ova tri pitanja može biti sporan.

[Integrator]

chomacho kaže:

Ako je rezultat određenog integrala (jednodimenzionalnog) površina ispod grafa funkcije, kako taj rezultat može biti apsolutno točan?

Zato što pogreška teži k nuli.
Integral je suma odsjećaka pri čemu odsječci koji se sumiraju teže biti beskonačno tanki.
To se dalje svodi na račun LIMESA a ne samo integrala.

Naime, slikovito opisujući, taj proces se vrši upisivanjem i opisivanjem BESKONAČNOG (mrzim tu riječ) broja pravokutnika u "svakoj" točki intervala i zbrajanjem diferencijala površina... u toj mjeri da oni (opet slikovito) postanu maltene crte.

Beskonačno tanke crte. Sve dok nisu beskonačno tanke, sam integral nije integral nego ZBROJ tih crta.

Dakle, ja se slažem da taj rezultat u beskonačnosti teži u taj apsolutni broj, ali nije li tada greška u tom rezultatu beskonačno malena?

Jest. Nešto što je beskonačno maleno, znači da je nula.

3/3=1, dakle 1/3+1/3+1/3=3/3. E sad svaku jednu trećinu prvo podijelite pa onda zbrojite. Dobije se 0.333333blabla, i kad tako zbrojite tri puta dobije se 0.9999999blabla, što u konačnici nije JEDAN, nego približno jedan.

Jest. ALi ako imaš BESKONAČNO MNOGO decimala, to više nije približno jedan nego jedan.

Dakle, ja sebi mentalno te tri trećine mogu podijeliti na tri savršeno jednaka dijela, gdje ću ja svaku jednu trećinu promatrati kao apsolutan broj, ali samo dok ju gledam kao razlomak koji ne dijelim, čim ju sagledam na onaj drugi način- sranje.

Zato što pri pisanju razlomaka koristiš potenciju broja DESET. Da koristiš kojim slučajem potenciju broja tri, stvar bi bila jednostavnija.
Tu imaš problem sa NUMERIKOM. Ona uvijek ide do neke konačne PRECIZNOSTI.
No analitika je savršeno precizna.

Nadam se da ste me shvatili i da će me barem netko prosvijetliti.

Ja se isto nadam.

[Integrator]

nitko drugi kaže:

A Ahil je baš to želio, kad je hvatao onu kornjaču, ali nikako da uspije. Ali, daj ti meni reci kolika je razlika između 0.999999999999999... i 1?

Ahil sasvim lijepo ulovi kornjaču.
Problem je samo što se u tom problemu usitnjuje ne samo prostor tj. dužina između Ahila i kornjače nego i vrijeme.
"Nikako da stigne" znači NIKAD ju ne stigne. A to nije točno. On ju stigne u konačnom vremenu. Nikad bi značilo u beskonačnom vremenu.

U tom problemu se vrijeme usitnjava sve do onog ključnog trenutka u kojem Ahil zasita stiže kornjaču. Taj trenutak nije u beskonačnosti, pa stoga ne možemo ni reći da on NIKAD ne stiže kornjaču.

[alim]

.. pitagora kažu da je imao isti tvoj problem .. nije mogao naći korjen iz dva ..
.. to mu je bilo jebeno jer je hipotenuza trokuta sa katetama 1 trebala biti korjen iz dva .. .. ako nacrta .. postoji kateta .. jasna i precizna .. postoji hipotenuza .. jasna i precizna .. ako ju računa .. ne zna gdje da ju stavi ..

.. za integrale i nije čudo .. oni jesu to .. s tim unaprijed računaš .. .. oni su samo pomoć .. ni ne misle biti perfektni .. ali odlična pomoć .. i jedna trećina isto .. ako broj decimala teži beskonačnosti onda će dužina težiti jednoj trećini ..
.. nije matematiku stvorio bog .. da bi onda ona stvorila svijet .. .. suprotno .. ona je pomoć čovjeku .. kod .. premjeravanja .. svijeta .. .. korisna pomoć .. .. zato je i nastala .. .. da bude korisna pomoć .. .. tom nekom čovjeku ..

[nitko drugi]

Problem je poznat kao razlika između potencijalne i aktualne beskonačnosti. (Naravno, oni koji smatraju da nema te razlike također smatraju i da nema problema. )

Dakle, je li 0.333333333... = 1/3? Ovisi o tome koliko smo trica stavili iza nule. Ovih mojih 7 trica svakako nije dovoljno, a ne bi bilo ni 77. Koliko bi ih trebalo biti? Beskonačno. Možemo li to actually zamisliti, beskonačno mnogo tih trica? Ako možemo, to bi bila aktualna beskonačnost, zbiljski postojeća beskonačnost. Ako ne možemo zamisliti da ih actually ima beskonačno mnogo, nego samo da ih ima sve više i više, i da to potencijalno teži u beskonačnost, onda govorimo o potencijalnoj beskonačnosti, naime o onome ka čemu teži približavanje bez da ikad uspije preskočiti taj neizmjerno mali ponor između 0.3333333333333333... i 1/3, odnosno, između ''beskonačno malo'' i ''nula''.

chomacho beskonačnost shvaća potencijalno (kao i jadni Ahil, pa nikako da stigne kornjaču), i stoga uvijek postoji neka beskonačno mala razlika.

[nitko drugi]

Integrator kaže:

Ahil sasvim lijepo ulovi kornjaču.
Problem je samo što se u tom problemu usitnjuje ne samo prostor tj. dužina između Ahila i kornjače nego i vrijeme.
"Nikako da stigne" znači NIKAD ju ne stigne. A to nije točno. On ju stigne u konačnom vremenu. Nikad bi značilo u beskonačnom vremenu.

U tom problemu se vrijeme usitnjava sve do onog ključnog trenutka u kojem Ahil zasita stiže kornjaču. Taj trenutak nije u beskonačnosti, pa stoga ne možemo ni reći da on NIKAD ne stiže kornjaču.

Ne, pod ''nikako da stigne'' ne mislim na vrijeme potrebno da je stigne, nego mislim na broj koraka koji mu je potreban da je stigne, a taj broj koraka je beskonačan.

[chomacho]

nitko drugi kaže:

chomacho beskonačnost shvaća potencijalno (kao i jadni Ahil, pa nikako da stigne kornjaču), i stoga uvijek postoji neka beskonačno mala razlika.

Upravo tako, zato mi npr. nije jasan Integrator koji agumentira moje pitanje upravo onime što ja odbijam prihvatiti, i za što tražim obrazloženje. Na faksu sam napadao asistenta da mi to objasni, a on je isto kao i Integrator uporno tvrdio da ako nešto teži nečemu, ono to upravo i jeste. Na kraju mi je rekao da se ne zamaram time nego da to prihvatim kao takvo, na što sam se ja naravno grohotom podsmjehnuo.
Ali evo, barem sam spoznao da nitko ne može tvrditi da je on u pravu a ja ne, upravo radi ove razdiobe beskonačnosti na potencijalnu i aktualnu.

I osvrnuo bih se na ovo alimovo da integrali ne misle biti perfektni... Ja se u potpunosti slažem sa time, oni za mene i nisu perfektni, jer je nešto apsolutno točno ujedno i apsolutno konačno, zar ne?
Zato molim Integratora kao pobornika ove aktualne beskonačnosti da mi objasni, da me UVJERI da je 0.99999... =1.

[alim]

.. točno .. konačno .. perfektno .. to su izmišljeni pojmovi ..
.. 1+1 nije moguće nigdje u stvarnosti .. jer bog na svijetu nije stvorio dvije iste stvari ..
.. svaka je stvar različita i čak i sama već u drugom trenutku druga ..

.. to što svijet ima .. svoje postojanje .. koje se ne podvrgava matematici .. važno je ..
.. ali i to što ćovjek može smisliti i ono čega nema .. možda nije sasvim bez značaja ..

[raliSHA]

zanimljivo pitanje...identično ovom ali s drugim/sličnim brojevima...je li 1+1+1=3 razlike nema

[UrchinStar47]

nitko drugi kaže:

A Ahil je baš to želio, kad je hvatao onu kornjaču, ali nikako da uspije. Ali, daj ti meni reci kolika je razlika između 0.999999999999999... i 1?

To je isti broj!

[Druid]

Ako netko nije gledao na link:

Dokaz:

1/3 + 2/3 = 1

1/3 = .33~

2/3 = .66~

.33~ + .66~ = .99~

1 = .99~

Dva su realna broja jednaka ako između njih ne postoji realan broj. Ovo gore je jedan od dokaza, iako trivijalan; postoje i mnogo "ljepši" dokazi (no to su već matematičke preferencije, matematička estetika gotovo).

Tu imaš dokaz da je 1=0.999...; znači, uvijek i bilogdje možeš umjesto 1 pisati 0.999... samo što je 1 jednostavnije. Svaki realni broj pripada samo jednom od intervala/segmenta [a,b> i [b,c], tj. kod nas [a,1> i [1,c]. 0.9,0.99,0.999,0.9999 itd. su sadržani u [0,1> no ne i 0.999...

[nitko drugi]

raliSHA kaže:

zanimljivo pitanje...identično ovom ali s drugim/sličnim brojevima...je li 1+1+1=3 razlike nema

Nije identično.
1 + 1 + 1 = 3 nigdje ne uključuje nikakav pojam beskonačnosti, kao ni 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1, i te dvije stvari jesu identične. Isto kao i 0.33333 + 0.33333 + 0.33333 = 0.99999.

Ali u 1/3 = 0.33333... ili, po Druidovoj oznaci 1/3 = 0.33~ , jest uključen pojam beskonačnosti.

I taj pojam beskonačnosti je ono što je problematično za chomacha, i za mene. A bilo je i za Gaussa: I protest against the use of infinite magnitude as something completed, which is never permissible in mathematics. Infinity is merely a way of speaking, the true meaning being a limit which certain ratios approach indefinitely close, while others are permitted to increase without restriction. (link)

Dakle, nije identično pitanje.

[servantes]

nitko drugi kaže:

Ali u 1/3 = 0.33333... ili, po Druidovoj oznaci 1/3 = 0.33~ , jest uključen pojam beskonačnosti.

Ali nije. Beskonačnost ne postoji osim matematički. Znači samo kao analitička predožba našeg uma. Ako uzmeš metar nečega i sa oštrim nožem razrežeš ga na tri dijela, i dobit ćeš tri konačna djela. Niegdje nećeš vidjeti niti će se pojaviti beskonačnost. Isto je i sa brojem PI,......ili nekom drugom veličinom koja je matematički beskonačna. One ne postoje u stvarnosti.
Javljaju se samo kao odnosi kolikoće. A samo kolikoćom (ili odnosom), mišljenja sam, ne može se opisati stvarnost.

[nitko drugi]

servantes kaže:

Ako uzmeš metar nečega i sa oštrim nožem razrežeš ga na tri dijela, i dobit ćeš tri konačna djela. Niegdje nećeš vidjeti niti će se pojaviti beskonačnost.

Ali, to što ti kažeš je 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1. To nije sporno, niti ja kažem da se u tome pojavljuje beskonačnost.

Beskonačnost se pojavljuje u ovome 1/3 = 0.333333333...

Jer je to tek drugačiji zapis ovoga: 1/3 = 0.333333333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + 3 /100000 + 3/1000000 + ... itd. Taj red teži (potencijalno) 1/3, i nakon beskonačno mnogo koraka bit će actually jednak 1/3.

Problem je, dakle, može li se (naravno, u ''analitičkoj predočbi'') načiniti beskonačni broj koraka. raliSHA, UrchinStar47, Druid, Integrator mogu, chamacho, Gauss i ja ne možemo (i ne vjerujem njima da mogu ).