Problematika integrala

[Druid]

Gdje sam ja napisao da mogu?
Kakve su to misinterpretacije, molim...

[servantes]

nitko drugi kaže:

Ali, to što ti kažeš je 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1. To nije sporno, niti ja kažem da se u tome pojavljuje beskonačnost.

Beskonačnost se pojavljuje u ovome 1/3 = 0.333333333...

Jer je to tek drugačiji zapis ovoga: 1/3 = 0.333333333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + 3 /100000 + 3/1000000 + ... itd. Taj red teži (potencijalno) 1/3, i nakon beskonačno mnogo koraka bit će actually jednak 1/3.

Problem je, dakle, može li se (naravno, u ''analitičkoj predočbi'') načiniti beskonačni broj koraka. raliSHA, UrchinStar47, Druid, Integrator mogu, chamacho, Gauss i ja ne možemo (i ne vjerujem njima da mogu ).

Ma ja uopće ne pobijam to što si napisao. Premda, sada gledajući, možda je zvučalo tako. Ja kažem da u stvarnosti ne postoji 0,3333333333.... Postoji samo kao ideja odnosa. Odnosno pitanje je da li mi možemo do u beskonačno djeliti neki prostor.Matematički možemo. Stvarno ne možemo. Tu se (vezano za integrale) javlja isti problem kao i kod "kvadratura kruga".
Upravo zato je svaki matematički izračun samo gruba aproksimacija stvarnosti.

[Integrator]

servantes kaže:

Upravo zato je svaki matematički izračun samo gruba aproksimacija stvarnosti.

Nije gruba nego beskonačno fina.

[Integrator]

nitko drugi kaže:

Beskonačnost se pojavljuje u ovome 1/3 = 0.333333333...

Zbog dekadskog sustava. Već smo to rekli. Probaj u sustavu baze 3.

[Integrator]

Druid kaže:

Ako netko nije gledao na link:

Dokaz:

1/3 + 2/3 = 1

1/3 = .33~

2/3 = .66~

.33~ + .66~ = .99~

1 = .99~

Dva su realna broja jednaka ako između njih ne postoji realan broj. Ovo gore je jedan od dokaza, iako trivijalan; postoje i mnogo "ljepši" dokazi (no to su već matematičke preferencije, matematička estetika gotovo).

Tu imaš dokaz da je 1=0.999...; znači, uvijek i bilogdje možeš umjesto 1 pisati 0.999... samo što je 1 jednostavnije. Svaki realni broj pripada samo jednom od intervala/segmenta [a,b> i [b,c], tj. kod nas [a,1> i [1,c]. 0.9,0.99,0.999,0.9999 itd. su sadržani u [0,1> no ne i 0.999...

Problem je što je matematika napustila filozofiju. Filozofija je ostala bez matematike, i zato imaju tako nepreciznu misao i gomilu proizvoljnosti što znači da zapravo više nemaju dosljednost.
Evo pogledaj kako se ne mogu dogovoriti stiže li Ahil kornjaču i kada je stiže.

[servantes]

Integrator kaže:

Nije gruba nego beskonačno fina.

Ako misliš da si u pravu - Izvoli. Opiši mi jabuku.

[servantes]

Integrator kaže:

Problem je što je matematika napustila filozofiju. Filozofija je ostala bez matematike, i zato imaju tako nepreciznu misao i gomilu proizvoljnosti što znači da zapravo više nemaju dosljednost.
Evo pogledaj kako se ne mogu dogovoriti stiže li Ahil kornjaču i kada je stiže.

Matematika uopće nije napustila filozofiju i obrnuto. Odakle ti to?
Matematika se samo malo uzoholila i misli da može bez filozofije.
To bi bilo isto kao da tvoja glava misli može egzistirati bez tijela.

Uostalom. Što ti misliš? Može li Ahil dostići kornjaču? Samo nemoj po limesima. Već smo to više puta prežvakali.

[Druid]

@servantes - naravno da Ahil može dostići kornjaču. Po meni, recimo čak i u srednjoj kada djecu uče tim stvarima (Ahilu i kornjači) trebali bi ih tome učiti samo historijski, tj. doksografski - postojala je ta i ta ideja, ali to zato jer nisu uzeli u obzir to i to što mi danas znamo iz fizike i matematike i onda čak paralelno to objasniti fizikom. Tako da se predmeti isprepliću i da se uči interdisciplinarnosti, a ne fragmentaciji...

Nitko nije ništa napustio, niti filozofija matematiku niti obratno (osim u slučajevima kada stvarno jesu, a takvih ima ipak mnogo ), ali mnogi filozofi ne znaju matematiku, a mnogi matematičari ne smatraju relevantnom filozofiju. Na žalost je tako, pogotovo ovo drugo. Zapravo, matematici ide sasvim dobro bez filozofije, samo što ona ne zna da joj je u fundamentumu upravo sama filozofija. Tek kad treba malo napredovati i nešto napraviti novo, onda dobro dodju filozofi sa svojim izumima .

[alim]

.. pitanje ahila i kornjače nije riješeno .. nije zenon bio idiot da bi mislio da ahil neće stići kornjači ..

.. pitanje kretnje koje taj paradoks postavlja tek se treba rješavati .. a taj paradoks treba gledati ovako ..
.. koliko god da su dvije točke blizu .. ahil treba nestati u jednoj da bi se pojavio u sljedećoj .. ?
.. a ako ne treba nestati .. u kom obliku postoji .. zar postoje objekti čije je postojanje .. u kretnji .. ? .. i kako onda oni izgledaju u mirovanju .. i šta je to objekt koji ne može postojati kao objekt .. jer je pojam objekt .. isto kao stvar .. ili tvar .. ili materija .. ili materjalna čestica .. nastao .. i postoji kao objekt .. kao nepokretno .. mirujuće .. i ako prestaje to biti šta tada postaje ..
.. pitanje zenona je pitanje postojanja .. i to je pitanje daleko od rješenja ..

[Druid]

Kretanje i gibanje je u grčkom jeziku potpuno različitog značenja. Kada govorimo o antičkoj grčkoj filozofiji, kretanje zapravo predstavlja pomak nečega od "potencije" (potentia) do svoje "aktualnosti" (actualis), od dynamis do energeia.

Naravno da se kod Ahileja i kornjače problem ne može svesti na "puku utrku", ali onda neka se i ne svodi, neka se problem imenuje riječima kojima se mora imenovati da bi značio to što bi značio kada bi ga se tako imenovalo.

[nitko drugi]

Integrator kaže:

Zbog dekadskog sustava. Već smo to rekli. Probaj u sustavu baze 3.

Pa da, zbog dekadskog sustava, ali ne samo zbog njega. U istom tom dekadskom sustavu s 1/4 = 0.25 nema tog problema. Dakle, radi se o ne-sumjerljivim veličinama (trećina i desetinka), pa zbog toga pisanje 1/3 kao decimalnog broja traži beskonačni broj znamenki (odnosno beskonačni red brojeva koji teži ka 1/3). I onda se, zbog tog beskonačnog broja, javljaju pitanja. Slična pitanjima koja se - opet zbog beskonačnosti - javljaju kod integrala ili kod Zenona. Uvijek je isti problem, prijelaz s ''teži ka x'' na ''u beskonačnosti je jednako x'', odnosno, s potencijalno beskonačno na aktualno beskonačno.

Što se tiče Ahila i kornjače, Aristotelovo je riješenje bilo da ne pretpostavljamo da dužina actually sadrži beskonačno mnogo točaka, nego je tek potencijalno djeljiva u beskraj. Onda nema problema. Problem se javlja kad jadni Ahil da bi došao od bilo koje točke do bilo koje druge mora prijeći beskonačno mnogo točaka.

[alim]

.. ne .. problem je u drugome .. problem je u tome što se objekt ne može pomaknuti ..
.. a taj problem nije nastao u svijetu nego u našoj svijesti ..
.. svijest je stvorila .. model .. opis svijeta .. koji glasi .. svijet je svijet stvari koga miču sile ..
.. i zenon je uvidio da stvari nije moguće pomaknuti .. stvari kao objekte .. definirane u nama ..
.. a to znači da svijet nije to .. da naš opis ne vrijedi ..
.. da .. bez obzira koliko naš model može biti koristan za nešto .. za nešto drugo može biti možda čista katastrofa ..
.. ne da 1+1 ne postoje .. jer su nepostojeći u svijetu .. i proton i elektron mogu biti sasvim drugo od onog što mi očekujemo od njih .. a opisani našim modelom nepostojeći ..
.. ključ svega je čovjek .. način na koji postoji znači svijet koga uspijeva vidjeti .. skupiti .. biti sa njim u vezi ..

[Harvey_1]

.. pitanje ahila i kornjače nije riješeno .. nije zenon bio idiot da bi mislio da ahil neće stići kornjači ..

Kako nije?Ja sam u srednjoj školi dobio prilično iscrpno objašnjenje i rješenje, i to na satu matematike i na satu filozofije.U knjizi iz matematike je bilo objašnjenje, a problem nam je objasnio i profesor filozofije, a taj čovjek je malo je reći genijalan.

[alim]

.. modele pred raspadom brane najveći genijalci .. pogledaj ptolomeja i kopernika ..
.. ponekad se pitam .. da je ptolomeju trebala putanja planeta u obliku najkompliciranije krivulje .. njemu bi to bio dokaz postojanja boga .. rekao bi .. pa ko može voziti mars takvom putanjom osim boga ..
.. a oni novi često izgledaju prilično ograničeni .. staviš sunce na sredinu i crtaš kružnice ..

[Druid]

alim kaže:

.. modele pred raspadom brane najveći genijalci ..

Da, najveći genijalci u svrhu izmišljanja magle, nerijetko plaćeni od nekoga kome je u interesu da ostane "kako je bilo". Kada su se počele javljati heretične ideje o heliocentričnom sustavu, cijela armada plaćenih znanstvenika i onih kojima je to bilo u interesu, bili su u stanju zakomplicirati stvari s brdom epicikala dodatnih i nepotrebni, samo da bi stvari ostale kako jesu. A na kraju je ispalo da je rješenje puno jednostavnije - prihvatiti stvari kako jesu, tj. da se Zemlja okreće oko Sunca, a ne obratno.

[Druid]

Students of mathematics often reject the equality of 0.999… and 1, for reasons ranging from their disparate appearance to deep misgivings over the limit concept and disagreements over the nature of infinitesimals. There are many common contributing factors to the confusion:

* Students are often "mentally committed to the notion that a number can be represented in one and only one way by a decimal." Seeing two manifestly different decimals representing the same number appears to be a paradox, which is amplified by the appearance of the seemingly well-understood number 1.

* Some students interpret "0.999…" (or similar notation) as a large but finite string of 9s, possibly with a variable, unspecified length. If they accept an infinite string of nines, they may still expect a last 9 "at infinity".

* Intuition and ambiguous teaching lead students to think of the limit of a sequence as a kind of infinite process rather than a fixed value, since a sequence need not reach its limit. Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read "0.999…" as meaning the sequence rather than its limit.

- drugim riječima "beskonačnost" nije neki "beskonačni niz nečega" niti je broj 4 - "četiri krumpira"... Matematika se ne bavi niti krumpirima, niti koracima (osim u koracima pri dokazivanju naravno )...
Koliko god to bilo kontraintuitivno.

Zato i možemo uvijek naći slobodnu sobu u hotelu s beskonačnim brojem putnika u kojem su "sve sobe popunjene". Isto možemo napraviti i s jednim autobusom koji ima beskonačno mnogo putnika (ili ako želimo premjestiti sve ljude iz jednog hotela s beskonačno mnogo putnika u drugi isti taj koji je "cijeli popunjen"). Isto možemo napraviti i s beskonačno mnogo buseva s beskonačno mnogo putnika.

Beskonačnost je fiksni koncept, a ne "brojanje u beskonačnost". Niti Zeus, a niti Chuck Norris ne mogu brojati "do beskonačnosti" jer beskonačnost nije jedan "klasičan broj". Ako je ikoji broj, onda je to transfinitni kardinal aleph nula (a taj broj je broj svih elemenata u skupu prirodnih brojeva N, izmedju ostalog) koji nam je opet potreban za druge stvari, ponajprije teoriju skupova i druge srodne joj stvari, a ne za brojenje koraka i krumpira.

[servantes]

Druid kaže:

@servantes - naravno da Ahil može dostići kornjaču. Po meni, recimo čak i u srednjoj kada djecu uče tim stvarima (Ahilu i kornjači) trebali bi ih tome učiti samo historijski, tj. doksografski - postojala je ta i ta ideja, ali to zato jer nisu uzeli u obzir to i to što mi danas znamo iz fizike i matematike i onda čak paralelno to objasniti fizikom. Tako da se predmeti isprepliću i da se uči interdisciplinarnosti, a ne fragmentaciji...

Nitko nije ništa napustio, niti filozofija matematiku niti obratno (osim u slučajevima kada stvarno jesu, a takvih ima ipak mnogo ), ali mnogi filozofi ne znaju matematiku, a mnogi matematičari ne smatraju relevantnom filozofiju. Na žalost je tako, pogotovo ovo drugo. Zapravo, matematici ide sasvim dobro bez filozofije, samo što ona ne zna da joj je u fundamentumu upravo sama filozofija. Tek kad treba malo napredovati i nešto napraviti novo, onda dobro dodju filozofi sa svojim izumima .

U pravu si.
Htio sam samo na neki način problem spustiti na zemlju. Zenon je sa Ahilom htio dokazati da kretanje ne postoji, i to je izvodio iz Parmenidove teze da je bitak jedan i da se nalazi u mirovanju. Strašan je način dokazivanja koja je izvodio (indirektan) s kojim je zadivio i suvremenike i kasnije Aristotela.

Zenonova beskonačnost prostora je pojmovna, a ne stvarna.

[servantes]

alim kaže:

.. a ako ne treba nestati .. u kom obliku postoji .. zar postoje objekti čije je postojanje .. u kretnji .. ? .. i kako onda oni izgledaju u mirovanju .. i šta je to objekt koji ne može postojati kao objekt .. jer je pojam objekt .. isto kao stvar .. ili tvar .. ili materija .. ili materjalna čestica .. nastao .. i postoji kao objekt .. kao nepokretno .. mirujuće .. i ako prestaje to biti šta tada postaje ..

Denis Diderot: „Razgovor između D'Alemberta i Diderota" citat

D'ALEMBERT: - Ne razumjem vas.
DIDEROT: - Objasnit ću. Prenošenje tijela s jednog mjesta na drugo nije kretanje, to je samo posljedica kretanja. Kretanje je sadržano i u prenesenom i u nepomičnom tijelu.
D'ALEMBERT: - Taj način promatranja je nov.
DIDEROT: - Ali on zato nije manje istinit. Uklonite prepreku, koja se postavlja prostornom prenošenju nepomičnog tijela, i ono će biti preneseno. Istisnite naglim razrjeđivanjem zrak, koji okružuje ovo ogromno hrastovo deblo, pa će se ono, od vode sadržane u sebi, koja će se iznenada razliti, rasprsnuti u stotine tisuća komadića. To isto mislim i o vašem tijelu.
D'ALEMBERT: - U redu. Ali kakav odnos postoji između kretanja i osjetljivosti? Da slučajno ne smatrate, da postoje djelatna i nedjelatna odjetljivost, kao što postoje živa i mrtva sila? Živa sila, koja se izražava pokretanjem, i mrtva sila, koja se izražava pritiskom; djelatna odjetljivost, koja je obilježena stanovitim značajnim radnjama u žiovotinji i, možda, u biljci; i nedjelatna odjetljivost, o kojoj bismo se uvjerili kod prijelaza u stanje djelatne osjetljivosti.
DIDEROT: - Sjajno, pogodili ste.

[nitko drugi]

Druid kaže:

Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read "0.999…" as meaning the sequence rather than its limit.

Pa upravo to i znači, dakle, red 0.333333333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + 3 /100000 + 3/1000000 + ... itd. što je različito od 1/3 ali teži 1/3. Dakle, radi se o pitanju kako ono što teži u beskonačno postaje beskonačno, ili kako ono što teži 1/3 ''u beskonačnosti'' postaje 1/3.

[blue bird]

servantes kaže:

Ali nije. Beskonačnost ne postoji osim matematički. Znači samo kao analitička predožba našeg uma. Ako uzmeš metar nečega i sa oštrim nožem razrežeš ga na tri dijela, i dobit ćeš tri konačna djela. Niegdje nećeš vidjeti niti će se pojaviti beskonačnost. Isto je i sa brojem PI,......ili nekom drugom veličinom koja je matematički beskonačna. One ne postoje u stvarnosti.
Javljaju se samo kao odnosi kolikoće. A samo kolikoćom (ili odnosom), mišljenja sam, ne može se opisati stvarnost.

...duzina ili trajanje ili bilo koja metricka vrijednost nije intrinzicno svojstvo neke kolekcije tocaka koje ju tvore...tocke nemaju nikakvu duzinu, trenutak nema trajanje...