Zanimljivi zadaci iz matematike

[finalnifantazista]

Biste li mogli postati vama zanimljive/drage matematičke zadatke? Nije bitno koje su težine.

Meni se nedavno svidio ovaj (bio je na IMO shortlist 1997):

U ravnini je dan konveksan šesterokut ABCDEF takav da je |AB|=|BC|, |CD|=|DE|, |EF|=|FA|. Dokažite da vrijedi:

|BC|/|BE| + |DE|/|DA| + |FA|/|FC| >= 3/2.

Ajde, znam da vas ima nekoliko... Po mogućnosti napišite i otkud vam zadatak...

[matematicar]

finalnifantazista kaže:
Biste li mogli postati vama zanimljive/drage matematičke zadatke? Nije bitno koje su težine.

Meni se nedavno svidio ovaj (bio je na IMO shortlist 1997):

U ravnini je dan konveksan šesterokut ABCDEF takav da je |AB|=|BC|, |CD|=|DE|, |EF|=|FA|. Dokažite da vrijedi:

|BC|/|BE| + |DE|/|DA| + |FA|/|FC| >= 3/2.

Ajde, znam da vas ima nekoliko... Po mogućnosti napišite i otkud vam zadatak...

Zadacic mi izgleda zanimljvo. Bas cu probati da ga rijesim. Cini mi se da se jednakost dobija jedino ako je u pitanju pravilni sesterokut, tj. heksagon.

[matematicar]

Rijesio sam problem. Radi se u 2 koraka, ali posto sad nemam vremena napisat cu ga kasnije.

[justapixel]

matematicar kaže:
Rijesio sam problem. Radi se u 2 koraka, ali posto sad nemam vremena napisat cu ga kasnije.

...reče matematičar i umre.

Potom su generacije pokušavale riješiti problem, ali nije im baš išlo...


.

[shipka]

justapixel kaže:
...reče matematičar i umre.

Potom su generacije pokušavale riješiti problem, ali nije im baš išlo...


.

E ti si meni sjajan, daj još

[finalnifantazista]

Šteta, znači da si ga riješio isto ko i svi ostali... Ptolomejeva (svodiš na stranice osnovnog trokuta) + Nesbittova. Baš sam se nadao da će netko naći drugo rješenje...

Imaš ti kakav zadatak?

[matematicar]

finalnifantazista kaže:
Šteta, znači da si ga riješio isto ko i svi ostali... Ptolomejeva (svodiš na stranice osnovnog trokuta) + Nesbittova. Baš sam se nadao da će netko naći drugo rješenje...

Imaš ti kakav zadatak?

Ne, nisam uopce koristio to. Davno je bilo kada sam rijesavao ove srednjoskolske probleme tako da moram da priznam da sam zaboravio Nesbittov teorem.
Posto ne namjeravam da ispisem citav dokaz, dat cu glavne smjernice mog rjesenja -ustvari mog razmisljanja.
Koristit cu tvoju notaciju.

1) Neka su A, C i E fiksne tocke (malo cemo se igrati sa preostalim tockama ).
Oznacimo sa O centar opisane kruznice trokuta ACE.
Posto je |AB|=|BC|, tocka B se nalazi na simetrali duzine AC (koja naravno prolazi i kroz tocku O).
Slicno za tocke D i E.
Sada zamisli da tocku B micemo po pravcu simetrale duzine AC. Svaka takva tocka bi zadovoljavala uslove zadatka. U izrazu jedino bi |BC|/|BE| promijenila vrijednost dok druga dva kolicnika ne bi.
Pitamo se gdje bi trebali postaviti tocku B na simetrali duzine AC da dobijemo minimum izraza |BC|/|BE|.
Jednostavna analiza (derivacija) pokazuje da je to slucaj kada se B nalazi na kruznici tako da se B i E nalaze s razlicitih strana u odnosu na AC.
(ako je potrebno mogu to da objasnim, ali cisto da ne davim).

Po analogiji |DE|/|DA| dostize minimum ako se D nalazi na kruznici tako da se A i D nalaze s razlicitih strana u odnosu na CE.
Slicno za |FA|/|FC|.

Dakle, ako nam netko da sesterokut koji zadovoljava uslove zadatka, gore navedena konstrukcija nam daje sesterokut (upisan u kruznicu) takav da je izraz |BC|/|BE| + |DE|/|DA| + |FA|/|FC| manji (od prvobitnog).
Znaci, tvrdjenje zadatka je dovoljno dozati za sesterokute koji su upisani u kruznicu tako da je |AB|=|BC|, |CD|=|DE|, |EF|=|FA|.

2.) Ovaj dio cu napisati malo kasnije. Gladan sam .

[finalnifantazista]

matematicar kaže:
Ne, nisam uopce koristio to. Davno je bilo kada sam rijesavao ove srednjoskolske probleme tako da moram da priznam da sam zaboravio Nesbittov teorem.

Nesbitt: Za svaka 3 pozitivna broja a, b, c vrijedi:

a/b+c + b/a+c + c/a+b >= 3/2

Dokaz Nesbitta je bzvz.

Ja ti ne znam derivacije. Naučit ću preko ljeta ili početkom sljedeće školske godine na grupi.

Ovo rješenje koje sam ja našo je da Ptolomejevom dokažeš za one razlomke u nejednakosti da su veći ili jednaki ovima u Nesbittovoj (preko stranica trokuta ACE).

Ti fakat dugo jedeš..

[matematicar]

finalnifantazista kaže:
Nesbitt: Za svaka 3 pozitivna broja a, b, c vrijedi:

a/b+c + b/a+c + c/a+b >= 3/2

Dokaz Nesbitta je bzvz.

Ja ti ne znam derivacije. Naučit ću preko ljeta ili početkom sljedeće školske godine na grupi.

Ovo rješenje koje sam ja našo je da Ptolomejevom dokažeš za one razlomke u nejednakosti da su veći ili jednaki ovima u Nesbittovoj (preko stranica trokuta ACE).

Ti fakat dugo jedeš..

Ah, to je znaci Nesbitt. To je trivijalna nejednakost (posljedica aritmeticko-geometrijske nejednakosti). Da, i ja to koristim u svom rjesenju.

Elem, da nastavim:

2) Znaci, zbog 1) mozemo pretpostaviti da je sesterokut ABCDEF upisan u kruznicu radijusa r.
Skica bi bila jako pozeljna, no sto da se radi. Svatko tko zna imalo trigonometrije moze izvesti slijedece (koristeci sinusovu teoremu):
|BC|=rsin(B)/sin(B/2)
|DE|=rsin(D)/sin(D/2)
|FA|=rsin(F)/sin(F/2) .
E, sada zurim na rostilj, javit cu se veceras.

[matematicar]

OK, da nastavim:
Uz malo vise muke (ali i dalje trivijalno) moze se pokazati da je:
|BE|=2r cos((F-D)/2),
|DA|=2r cos((B-F)/2),
|FC|=2r cos((D-B)/2).

Dakle,
|BC|/|BE| + |DE|/|DA| + |FA|/|FC| =sin(B)/[2sin(B/2)*cos((F-D)/2)]+sin(D)/[2sin(D/2)*cos((F-B)/2)]+sin(F)/[2sin(F/2)*cos((B-D)/2)]=
=sin(B)/[sin((B-F+D)/2)+sin((B+F-D)/2)]+sin(D)/[sin((D-F+B)/2)+sin((D+F-B)/2)]+sin(F)/[sin((F-B+D)/2)+sin((F+B-D)/2)]
Kako je B+D+F=2pi=360 stpunjeva, dobijamo:
=sin(B)/[sin(D)+sin(F)]+sin(D)/[sin(F)+sin(B)]+sin(F)/[sin(B)+sin(D)]

Ako zamjenimo a=sin(B), b=sin(D), c=sin(F), dobit cemo vec napisani izraz:
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2 Q.E.D.

[Dolphindream]

E, matematičaru?daj mi reci što ti obično jedeš?da i ja to nabavim...

[vanilla94]

na neki lak nacin da ne treba pisati sve brojeve

S koliko nula zavrsava umnožak prvih 100 prirodnih prostih brojeva.

[sal_mirabilis]

vanilla94 kaže:

na neki lak nacin da ne treba pisati sve brojeve

S koliko nula zavrsava umnožak prvih 100 prirodnih prostih brojeva.

Jel pomaže podebljavanje?
Još bih se zapitao kad množenjem dobiješ nulu.

[obicna]

kako izračunati 4^4^4^4 ili 5^5^5^5^5

[Nela_R]

obichna kaže:

kako izračunati 4^4^4^4 ili 5^5^5^5^5

wolfram mathematica

[obicna]

Nela_R kaže:

wolfram mathematica

da mi to da rješenje nebi pitala
http://www.wolframalpha.com/input/?i=4^4^4^4&x=0&y=0
ne daje mi broj nego samo koliko znamenki ima

[aria_]

Evo dva mala zadatka za razmišljanje )
navodno, samo ljudi sa IQ-om preko 120 mogu riješiti ovaj problem....
Ako je :


2 + 3 = 10
7 + 2 = 63
6 + 5 = 66
8 + 4 = 96


Koliko je:


9 + 7 = ????



i drugi:

Pronađi šesti broj u nizu:

1, 2, 6, 42, 1806, ?

[Woooooof]

prvi 144

drugi 75852

EDIT pardo drugi je 3263442

[aria_]

Točno hvala

[Bubazg]

Hu, drugi se iz aviona vidi, al za prvi mi je trebalo dobrih 5 min sigurno..
Dajte jos, dajte jos!