Skup realnih brojeva > gustoća

[*_spike]

Vjerojatno ispadam izrazito glup ovim pitanjem, ali vodim se onim da nema glupih pitanja, već samo glupih odgovora. Kojih, nadam se, neće biti na ovoj temi (hoće li ih biti uopće onda? ).

Skup R je gust yadda yadda između svaka dva broja možemo staviti još jedan. Koji broj možemo staviti između 0.9˙ (perioda na 9) i 1?

Niti jedan

U čem je kvaka?

[matematicar]

*_spike kaže:
Vjerojatno ispadam izrazito glup ovim pitanjem, ali vodim se onim da nema glupih pitanja, već samo glupih odgovora. Kojih, nadam se, neće biti na ovoj temi (hoće li ih biti uopće onda? ).

Skup R je gust yadda yadda između svaka dva broja možemo staviti još jedan. Koji broj možemo staviti između 0.9˙ (perioda na 9) i 1?

Niti jedan

U čem je kvaka?

Kvaka je u tome da je 1=0.99999.....
Naime, postoji korespodencija izmedju svih realnih brojeva i svih brojeva koji se daju zapisati u dekatskom sustavu, ali ona nije bijektivna.
Ako hoces bijekciju, onda ne bi trebao dovoliti zapise tipa
****.*****99999999..... jer 0.00000999999....=0.00001.

Nadam se da stvar malo jasnija.

[*_spike]

Da, i objašnjeno je tako je 0.9˙= 1, što vjerujem da je matematički na neki način korektno, no da mi je logično - nije.

Iako, zbilja, kada se ide prevađati 0.9˙iz decimalnog u razlomak, dobije se da je 0.9˙isto što i 1. Sasvim korektno, ali nelogično.

[Sheky]

Ahem , kako onda meni profa tvrdi da 0,9 s točkom nije jednako(ne približno, nego točno) 1??

[matematicar]

Sheky kaže:
Ahem , kako onda meni profa tvrdi da 0,9 s točkom nije jednako(ne približno, nego točno) 1??

0.9 sa tockom jeste tocno 1, ako ti profesor tvrdi suprotno, onda on nema pojma.

[matematicar]

*_spike kaže:
Da, i objašnjeno je tako je 0.9˙= 1, što vjerujem da je matematički na neki način korektno, no da mi je logično - nije.

Iako, zbilja, kada se ide prevađati 0.9˙iz decimalnog u razlomak, dobije se da je 0.9˙isto što i 1. Sasvim korektno, ali nelogično.

evo ti jedan od nacina:

x=0.9999.... /*10
10x=9.9999....
10x=9 + 0.99999.....
10x=9+x
9x=9
x=1

Drugi nacin je koriscenje formule za sumu beskonacnog geometrijskog reda.

[Bozidar]

matematicar kaže:
evo ti jedan od nacina:

x=0.9999.... /*10
10x=9.9999....
10x=9 + 0.99999.....
10x=9+x
9x=9
x=1

Ovo ne kuzim???

Drugi nacin je koriscenje formule za sumu beskonacnog geometrijskog reda.

moze objasnjenje?

[matematicar]

Bozidar kaže:
Ovo ne kuzim???

Ovo je bilo algebrasko izvodjenje da je 0.999....=1

moze objasnjenje?

Moze.
0.99999.....=0.9 +0.09+0.009+....
=0.9[1+0.1+0.1^2+0.1^3+....]

Formula za beskonacni geometrijski red je:
1+x+x^2+x^3+.... = 1/(1-x) za |x|<1.

Dakle prema forumuli dobijamo:
0.9999...=0.9 * 1/(1-0.1)=0.9/0.9=1.

OK!?

[grimReaper]

matematicar kaže:
x=0.9999.... /*10

mozda ti ovaj red nije jasan, mene je zbunio , ali radi se naime o tom da moras pomnozit cijelu jednadzbu sa 10 tj

x=0,999999... | *10

[Bozidar]

Eh jos da se probudim i ukljucim mozak mozda i ne bi postavljao glupa pitanja

[finalnifantazista]

Meni taj pojam gustoće uopće nije jasan.. Što, kažemo da je skup gust ako između svaka 2 elementa tog skupa postoji element tog skupa (zar to ne znači odmah da između bilo koja 2 elementa tog skupa postoji beskonačno mnogo elemnta tog skupa)? Čem uopće služi taj pojam? Jel bismo mogli reći da je skup C gust, iako nema uređaja među kompleksnim brojevima? Ili možda da nije gust?

[matematicar]

finalnifantazista kaže:
Meni taj pojam gustoće uopće nije jasan.. Što, kažemo da je skup gust ako između svaka 2 elementa tog skupa postoji element tog skupa (zar to ne znači odmah da između bilo koja 2 elementa tog skupa postoji beskonačno mnogo elemnta tog skupa)? Čem uopće služi taj pojam? Jel bismo mogli reći da je skup C gust, iako nema uređaja među kompleksnim brojevima? Ili možda da nije gust?

Ne, stroga definicija je malo drugacija.
Kaze se da je prebrojiv podskup S od X gust u X ako je closure(S)=X.
prostim rijecima: prebrojiv podskup je gust u X ako se svaki element iz X moze proizvoljno dobro aproksimirati nekim elementom iz S.

Evo primjera,
X=R=skup realnih brojeva,
S=Q=skup racionalnih brojeva
Svaki realni broj se da proizvoljno dobro aproksimirati nekim elementom iz Q.
Naravno, Q je prebrojiv.

[skeptik]

matematicar kaže:
evo ti jedan od nacina:

x=0.9999.... /*10
10x=9.9999....
10x=9 + 0.99999.....
10x=9+x
9x=9
x=1

Cool dokaz!
Ne bi mi nikad palo napamet to ici dokazivati na tako jednostavan nacin.

[kajjaznam]

*_spike kaže:


Skup R je gust yadda yadda između svaka dva broja možemo staviti još jedan.

Skup R nije gust, odn. na njega se pojam gustoće ne odnosi jer nije prebrojiv.

[kajjaznam]

matematicar kaže:
evo ti jedan od nacina:

x=0.9999.... /*10
10x=9.9999....
10x=9 + 0.99999.....
10x=9+x
9x=9
x=1

Inače je ovo standardni postupak pretvaranja beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva u razlomke koji uče klinci u osmom razredu osnovne ili prvom srednje.

[Sheky]

matematicar kaže:
0.9 sa tockom jeste tocno 1, ako ti profesor tvrdi suprotno, onda on nema pojma.

Ajde ok. Inače isti profa tvrdi da se nemože dokazati da je 0.9 stočkom na ovaj gore naveden način jednako 1 jer to zapravo nije jednako jedan , a i meni se čini da nije jer će 0.9 s točkom uvijek biti za 0.0000......01 manje od 1.

[Katatonični Dabar]

matematicar kaže:

x=0.9999.... /*10
10x=9.9999....
10x=9 + 0.99999.....
10x=9+x
9x=9
x=1

odlično objašnjeno...

*čak* sam i ja sve skužio

[finalnifantazista]

matematicar kaže:
Ne, stroga definicija je malo drugacija.
Kaze se da je prebrojiv podskup S od X gust u X ako je closure(S)=X.
prostim rijecima: prebrojiv podskup je gust u X ako se svaki element iz X moze proizvoljno dobro aproksimirati nekim elementom iz S.

Evo primjera,
X=R=skup realnih brojeva,
S=Q=skup racionalnih brojeva
Svaki realni broj se da proizvoljno dobro aproksimirati nekim elementom iz Q.
Naravno, Q je prebrojiv.

Ok, to bi mi imalo smisla kad bi znao što znači proizvoljno dobro aproksimirati. Mislim, ak ti 1.435, 1.2 i 0.9 hoćeš "proizvoljno" dobro aproksimirati, možeš reći da su svi približno jednaki 1. Ili ne?

Par pitanja: Je li skup Z gust u Q? A Q/{0.1} u Q? A Q/{0.1} u R?

Ovo / označava razliku skupova, ne znam jel taj znak ili \.

[statler & waldorf]

finalnifantazista kaže:
Ok, to bi mi imalo smisla kad bi znao što znači proizvoljno dobro aproksimirati.

Nešto u smislu,i da za svaki broj i za svaku granicu postoje brojevi unutar te granice koji omeđuju zadani broj. Recimo da ako želiš aproksimirati realni broj iracionalnim. Dakle zadaš realni broj i granicu. Recimo 1 i granicu 0,001. I sad ja nađem iracionalne brojeve između 1-0,001 i 1+0,001 jedan veći od 1 a drugi manji.
Baš sam ga zapetljo, ali valjda ćeš shvatiti. Dakle za svaki broj iz skupa X, označimo ga sa a, i za svaku granicu e (koliko got ona mala bila), postoje brojevi iz podskupa od X a1,a2 takovi da je
a-e<a1<a<a2<a+e .
To ti je to otprilike po mom sjećanju. Ne da mi se tražiti točno po literaturi, ali valjda ćeš shvatiti što znači proizvoljno dobro aproksimirati

[kajjaznam]

finalnifantazista kaže:
Ok, to bi mi imalo smisla kad bi znao što znači proizvoljno dobro aproksimirati.

Pa po potrebi. To bi ti ustvari bila definicija limesa (za najbolju aproksimaciju).

Malo off topic. A koji si ti razred srednje? Natjecanja?