Dvije nepoznate matrice

[math_baby]

Neka je X matrica dimenzija 2×2 ciji su retci vektori
x1 = (-1, 1) i x2 = (0 -2).

Nadji matrice A i B (takodjer dimenzija 2×2) s cjelobrojnim elementima, tako da vrijedi jednakost X = A^3 + B^3.
Posebno me zanima da se zadatak rijesi na sto vise razlicitih nacina, kao i pitanje jedinstvenosti nadjenog rjesenja.

Lijep pozdrav svim uspjesnim rjesavateljima od
math_baby

[C'Tebo]

Originally posted by math_baby
Neka je X matrica dimenzija 2×2 ciji su retci vektori
x1 = (-1, 1) i x2 = (0 -2).

Nadji matrice A i B (takodjer dimenzija 2×2) s cjelobrojnim elementima, tako da vrijedi jednakost X = A^3 + B^3.
Posebno me zanima da se zadatak rijesi na sto vise razlicitih nacina, kao i pitanje jedinstvenosti nadjenog rjesenja.

Lijep pozdrav svim uspjesnim rjesavateljima od
math_baby

Pa, ovako, od oka, bih reko da rješenje nije jedinstveno, jer imamo 4 jednadžbe, a 8 nepoznanica, što bi se reklo da rješenje postoji sigurno, ali ono isto tako nije jedinstveno (bar mi se tako čini), ali možda sam u krivu...

[skeptik]

math_baby kaže:
Neka je X matrica dimenzija 2×2 ciji su retci vektori
x1 = (-1, 1) i x2 = (0 -2).

Nadji matrice A i B (takodjer dimenzija 2×2) s cjelobrojnim elementima, tako da vrijedi jednakost X = A^3 + B^3.
Posebno me zanima da se zadatak rijesi na sto vise razlicitih nacina, kao i pitanje jedinstvenosti nadjenog rjesenja.

Lijep pozdrav svim uspjesnim rjesavateljima od
math_baby

Ovako dosadnog zadatka prepisanog iz neke lose prevedene jeftine ruske zbirke vec dugo nisam vidio.

Math_baby, shvati to osobno.

[slafko]

certainly not me,
certainly not me,
kuz baby personally,
i like to be challenged mentally.

[math_baby]

skeptik kaže:
Ovako dosadnog zadatka prepisanog iz neke lose prevedene jeftine ruske zbirke vec dugo nisam vidio.

Math_baby, shvati to osobno.

Prvo, ne mogu nikako to shvatiti osobno jer zadatak nisam smislila ja, nego je on iz "jeftine zbirke".

Drugo, koliko god da je zadatak jadan, ti ga NIKAD ne bi znao rijesiti. Poznajem te vec odavno: ti si mizerija i pateticni primjer wanna-be znanstvenika koji je to samo po diplomi i ni po cemu vise.

math_baby

[skeptik]

A zasto bih se mucio s rjesavanjem kad je to netko vec rjesio?

http://forum.monitor.hr/showthread.p...375#post808375

[Ame®icano]

Skeptik, bem ti logiku. Trebao si je pustiti da jos malo piskara, pa da kasnije uporedjujemo postove. Nego ti pravo u glavu... Pobjeze zenska vampulicom bez obzira. Sram te bilo.

[math_baby]

Americano, ne pricaj gluposti... Nisam do sada vidjela da je itko dao postupak rjesenja za ovaj problem, bilo na IMF-u, bilo na ovom forumu. Prema tome, chill out.

Vidjevsi tvoj post ovdje (ali i na mojoj temi na LJESU), zapitala sam se zasto te uopce ovdje vidim, ali onda sam se prisjetila jednog tvog davnog (dozlaboga traljavog i nespretnog) uvaljivanja meni preko PM-a kada sam te bila glatko izignorirala... Pitam se ne potjece li tvoj animozitet prema meni jos od onda???

math_baby

P.S. Ako netko ima cjelovito rjesenje zadatka s postupkom rjesavanja, lijepo bih ga molila da ga ovdje predoci. Ostale likove, tipa skeptik i njemu slicni, koji nikad nista ne rijese molim: stay out!

[Ame®icano]

Hmmm. lemme see... kontaktirao sam te preko PM-a, sto jeste tacno, traljav i nespretan inace jesam, sto nije nista novo, ali sam dobar vodoinstalater. A koliko mi se cini, ti si imala problem jer ti je curila voda iz ves masine...

Glede nabacivanja... priznajem da jesam pitao da ti, znanstvenik i ja nabacimo jedan trojac kad dodjem u Zagreb, na sto si odgovorila da znanstvenika ne zelis da dijelis sa mnom, ali da te mogu uvijek naci na Placu, kod tramvajske stanice, ako se predomislim za dvojac.

I interesantno je kolika prepotentnost se javlja u tebi cim se nadje neko ko ti odgovori onako kako se tebi ne dopada. Nabubala si cetri zadatka na pamet, pa se foliras okolo. Isti zadatak vjerujem mozemo pronaci na svim HR forumima i na PalTalku, preko kojeg si mi nudila cyber uzivo, naravno sa videom...

Nego, pisat pa spavat, pilence.

[VelmaX]

math, napisat ću postupak koji vodi do točnog rješenja, iako pretpostavljam da tebe zanima upravo ono što nedostaje, tj. diskusija o jedinstvenosti.
Možda se netko ipak uključi nakon ovoga.

Neka je

A = |a11 a12|
......|a21 a22|,

B = |b11 b12|
......|b21 b22|.

Nakon potenciranja i zbrajanja dobivamo sustav:

a11^3 + 2*a11*a12*a21 + a12*a21*a22 + b11^3 + 2*b11*b12*b21 + b12*b21*b22 = -1 (1)

a11^2*a12 + a11*a12*a22 + a12*a22^2 + a12^2*a21 + b11^2*b12 + b11*b12*b22 + b12*b22^2 + b12^2*b21 = 1 (2)

a11^2*a21 + a12*a21^2 + a11*a21*a22 + a21*a22^2 + b11^2*b21 + b12*b21^2 + b11*b21*b22 + b21*b22^2 = 0 (3)

a22^3 + 2*a12*a21*a22 + a11*a12*a21 + b22^3 + 2*b12*b21*b22 + b11*b12*b21 = -2 (4)
------------------------------------------------------------------------------------
a11^3 + (2*a11 + a22)*a12*a21 + b11^3 + (2*b11 + b22)*b12*b21 = -1 (1)

a22^3 + (2*a22 + a11)*a12*a21 + b22^3 + (2*b22 + b11)*b12*b21 = -2 (4)

a12*(a11^2 + a11*a22 + a22^2 + a12*a21) + b12*(b11^2 + b11*b22 + b22^2 + b12*b21) = 1 (2)

a21*(a11^2 + a11*a22 + a22^2 + a12*a21) + b21*(b11^2 + b11*b22 + b22^2 + b12*b21) = 0 (3)
------------------------------------------------------------------------------------
Oduzimanje (1) - (4), nakon sređivanja uz primjenu poznatog rastava za razliku kubova daje:

(a11 - a22)*(a11^2 + a11*a22 + a22^2 + a12*a21) + (b11 - b22)*(b11^2 + b11*b22 + b22^2 + b12*b21) = 1

Radi preglednosti, neka je

a = a11^2 + a11*a22 + a22^2 + a12*a21,
b = b11^2 + b11*b22 + b22^2 + b12*b21.

Sada imamo:

(a11 - a22)*a + (b11 - b22)*b = 1..... (1)-(4)
a12*a + b12*b = 1..... (2)
a21*a + b21*b = 0..... (3)

Za jedno rješenje vrijedi:

a21 = b21 = 0, a12 = a11 - a22, b12 = b11 - b22.

Sada (1) i (4) izgledaju ovako:

a11^3 + b11^3 = -1.....(1)

a22^3 + b22^3 = -2.....(4).

Jedini cjelobrojni par koji zadovoljava (1) je {0, -1}, a jedini cjelobrojni par koji zadovoljava (4) je {-1, -1}. Iz toga izlazi rješenje:

a11 = 0, a22 = -1, a12 = 1, a21 = 0,
b11 = -1, b22 = -1, b12 = 0, b21 = 0, odnosno:

A = |0 1|
......|0 -1|,

B = |-1 0|
......|0 -1|.

[kajjaznam]

Obzirom da je matrica
|-1 1 |
| 0 -2 |
gornje trokutasta rjesavao sam zadatak prvo tako da sam pret. da su A i B gornje trokutaste.
A= B=
| a b | | x y |
| 0 c | | 0 z |

Nakon potenciranja i izjedanacavanja dobijemo sustav jednadzbi

a^3+x^3=-1
c^3+z^3=-2
b(a^2+ac+c^2)+y(x^2+xz+z^2)=1

Rjesenja prve jednadzbe su ili a=0,x=-1 ili a=-1,x=0 (svejedno je koja je matrica A, a koja B pa cemo dalje uzeti prvo rjesenje)
Rjesenja druge jednadzbe su c=-1, z=-1
Uvrstavanjem u trecu dobijemo
b+3y=1.

Stoga su rjesenja u ovom specijalnom slucaju gornje trokutastih matrica
A= B=
|0 1-3y| |-1 y|
|0 -1 | |0 -1|

pri cemu je y proizvoljan cijeli broj.

E sad jos moram probat razrjesit i opci slucaj.