POMOC!!! suma beskonacnog reda

[lijencina]

Radim na jednom problemu a ne mogu naci rijesenje za sljedeci zbroj beskonacnog reda:

SUM(x=0,1,2,3...) e^(a*(x^2)) =?

e je baza prirodnog logaritma
a je bilo koji realni broj
rijecima: element reda je e na a puta x na kvadrat


Koja je suma tog reda? Koje je ime toga reda (po mogucnosti i englesko ime tako da mogu traziti na internetu)?

Puno hvala!!

[skeptik]

Ocito, red konvergira samo za a<0.
E sad, kako naci tu sumu analiticki - ne znam.
Jesi probo ubacit u Mathematicu?
Ako nista drugo, za dani a mozes uvijek (grubom silom) izracunat numericki, red brzo konvergira.

[lijencina]

Da, za a manji od 0. Nemam Mathematicu. Jeli imaju na internetu stranicu gdje mogu probati sumu reda? Ja sam nasao samo integrator na njihovim stranicama.

[Stribor cumez]

Ha, za veliki abs(a), red ce ocito konvergirati u jedan jer ce samo x=0 doprinositi znacajno. S druge strane za mali abs(a), red ce biti jako velik, dapace kad a->0 red je beskonacan.

Probaj ovdje pogledat, mozda nadjes nesto korisno (ovo mi jedino pada na pamet)http://www.math.upenn.edu/~wilf/gfologyLinked.pdf

[matematicar]

lijencina kaže:
Radim na jednom problemu a ne mogu naci rijesenje za sljedeci zbroj beskonacnog reda:

SUM(x=0,1,2,3...) e^(a*(x^2)) =?

e je baza prirodnog logaritma
a je bilo koji realni broj
rijecima: element reda je e na a puta x na kvadrat


Koja je suma tog reda? Koje je ime toga reda (po mogucnosti i englesko ime tako da mogu traziti na internetu)?

Puno hvala!!

Osim onog sto je vec receno ( a to je da red konvergira samo za a<0), nista se vise ne moze reci. Ne vjerujem da se suma da zapisati u zatvorenoj formi.

A da nisi ti kojim slucajem pogresno postavio zagrade???

[lijencina]

matematicar kaže:
Osim onog sto je vec receno ( a to je da red konvergira samo za a<0), nista se vise ne moze reci. Ne vjerujem da se suma da zapisati u zatvorenoj formi.

A da nisi ti kojim slucajem pogresno postavio zagrade???

Zagrade su u redu. Zanima me taj red jer je slican Gaussovoj distribuciji, znaci u eksponentu je x na kvadrat pomnozen s negativnom konstantom. Znaci nema rijesenja? Jesi siguran? Imas li neki link sa vise informacija? Jucer sam par sati pokusao naci vise informacija ali nista nisam nasao na internetu o tome redu.

Hvala

[matematicar]

lijencina kaže:
Zagrade su u redu. Zanima me taj red jer je slican Gaussovoj distribuciji, znaci u eksponentu je x na kvadrat pomnozen s negativnom konstantom. Znaci nema rijesenja? Jesi siguran? Imas li neki link sa vise informacija? Jucer sam par sati pokusao naci vise informacija ali nista nisam nasao na internetu o tome redu.

Hvala

Nema koliko ja znam. Tvoj problem je ekvivalentan tome da se slijedeci red napise u zatvorenoj formi:

1+x+x^2+x^4+x^9+x^16+..., gdje je |x|<1.
Ne znam niti jedan iole slican primjer Taylorovog reda koji se da zapisati u zatvorenoj formi.

[matematicar]

lijencina kaže:
Zagrade su u redu. Zanima me taj red jer je slican Gaussovoj distribuciji, znaci u eksponentu je x na kvadrat pomnozen s negativnom konstantom. Znaci nema rijesenja? Jesi siguran? Imas li neki link sa vise informacija? Jucer sam par sati pokusao naci vise informacija ali nista nisam nasao na internetu o tome redu.

Hvala

Ono sto mozes da uradis jeste aproksimacija reda sa integralom. No, to je samo aproksimacija.

[Stribor cumez]

Ono sto je interesantno, a sto sam napravio danas kad sam dosao na posao je prikaz te sume u matlabu. Uzeo sam abs(a) od 0.01 do 1 sa stepovima 0.01 i x od 1 do 1000. U jednom velikom dijelu dobivena krivulja S(a) je linearna u log(log(S)). regresija daje koeficijent -1, pa se cini da u srednjem dijelu suma ide kao:
S=exp(exp(-a))
no ocito je da je to krivo za a->0. U svakom slucaju cini se da trne brze od bilo koje power funkcije i cak ciste eksponencijale.

[skeptik]

matematicar kaže:
Ono sto mozes da uradis jeste aproksimacija reda sa integralom. No, to je samo aproksimacija.

Ti razmisljas kao fizicar, a ne kao matematicar.

[skeptik]

Stribor cumez kaže:
Ono sto je interesantno, a sto sam napravio danas kad sam dosao na posao je prikaz te sume u matlabu. Uzeo sam abs(a) od 0.01 do 1 sa stepovima 0.01 i x od 1 do 1000. U jednom velikom dijelu dobivena krivulja S(a) je linearna u log(log(S)). regresija daje koeficijent -1, pa se cini da u srednjem dijelu suma ide kao:
S=exp(exp(-a))
no ocito je da je to krivo za a->0. U svakom slucaju cini se da trne brze od bilo koje power funkcije i cak ciste eksponencijale.

Mozda bi mogo pogledati i koliko je aproksimacija integralom dobra, u ovisnosti o a.

[Stribor cumez]

Mogao bi al mi se ne da pretpostavljam da nije sjajna jer je I=sqrt(pi/abs(a))/2. To je ipak bitno sporije trnjenje od onoga koje mi je izislo u jutarnjem pokusu s kavicom

[skeptik]

Hm, to bi znacilo da integral nije dobar cak ni kao aproksimacija. A to mi je sumnjivo. Jesi siguran da nisi nesto fulao kod sumiranja reda?

[Stribor cumez]

Pa mislim da je ok. Aproksimacija integralom je dobra za funkcije koje se ne mjenjaju puno u dominantnom podrucju. Za druge je bitno drugacije.
recimo I(0,inf,x)exp(-x)=1
a Sum(0,inf,x)exp(-x)=e/(e-1)~1.58
Funkcija Sum(x,0,inf)exp(-a*x^2) se jako brzo mijenja, pa je za ocekivati da integral bude losa aproksimacija.

[skeptik]

OK, ako je |a| reda 1, tada se analaticki vjerojatno ne moze puno uciniti.

No, moze se ako je |a|>>1 ili ako je |a|<<1.
U prvom slucaju, sumu mozemo aproksimirati sa prva dva clana, pa je rezultat
1+e^a (a<0)
U drugom slucaju bi integral trebao biti dobra aproksimacija jer se funkcija e^(-|a|x^2) sporo mijenja.

Lijencina, koji ti imas slucaj?

[skeptik]

Eh da, jos nesto. Ako je |a| nesto manji od 1, ali ne bas tako puuno manji, tada ce aproksimacija integracijom od 0 do beskonacni biti relativno dobra, ali pri tom nemojte zaboraviti na kraju izracunatom integralu dodati clan 1/2.

[skeptik]

Uociti i da je moj rezultat 1+e^a (koji sam dobio na trivijalan nacin) konzistentan sa Striborovim e^(e^a) (koji je on dobio na puno kompliciraniji nacin). Naime, ako razvijete prvu Striborovu eksponencijalu u Taylora, tada prva dva clana daju upravo moj rezultat.

[matematicar]

Stribor cumez kaže:
Mogao bi al mi se ne da pretpostavljam da nije sjajna jer je I=sqrt(pi/abs(a))/2. To je ipak bitno sporije trnjenje od onoga koje mi je izislo u jutarnjem pokusu s kavicom

Ono sto sam ja spomenuo integral je nista drugo nego intergral-test za konvergenciju reda. No, i ta sama aproksimacija nije toliko losa - lako ti mogu reci koliko je maximalno odstupanje od tocnog broja.
No, ima puno boljih nacina da se aproksimira red.

[Stribor cumez]

Eto malo razvijah pa dobih slijedece:

ln(ln(S))=-|a|+ln(1-0.5*exp(a)+O(exp(a)^2))
Znaci exp(exp(a)) je doista dominantno ponasanje u srednjem podrucju.

[lijencina]

Hvala vam na interesu o problemu. Kad sam poceo sa time redom ja sam si ustvari htio olaksati rad sa Gaussovom distribucijom i aproksimirati integral redom tako da ne moram integrirati (poslije stvari postanu slozenije i nije vise Gaussova d.). Tako da u mojemu slucaju nema smisla onda opet red aproksimirati integralom. Ali izgleda da cu ipak ili trebati integrirati ili cisto numericki rijesavati. Ali me ipak cudi da nigdje ne mogu naci nista o tome redu sa -a x^2 u eksponentu. Ja sam mislio da ce to biti jedan od dobro proucenih redova...