Uz dan broja pi - poziv na filozofsko matematičku diskusiju

[hasu]

Danas, 3. mjeseca, dana u mjesecu 14., širom svijeta obilježava se dan broja pi. Evo jednog malog doprinosa. Donosimo pet slika koje je mom prijatelju Sanjinu poslao naš zajednički prijetalj Rem. Slijedi Sanjinov komentar.

3141592653589793238462643
Slika 1.

31415926535897932384626433832795028841
Slika 2.

31415926535897932384626433832795028841
Slika 3.


Slika 4.


Slika 5.

Na slici1. je istaknuo prvih 25 znamenki broja π. Ukazao je na poseban položaj četiriju trojki. Taj niz, naime počinje sa trojkom i završava sa trojkom. Preostale dvije trojke su pravilno raspoređene. Prva je na desetoj, a druga na šesnaestoj poziciji, gledali to s lijeva na desno ili s desna na lijevo.

Na slici 2. je istaknuo trinaest novih znamenki broja π, tako da ih sada ima 38. Zašto je to učinio biva vidljivo na slici 4. Tu je iz znamenki broja π isključio spomenute četiri trojke. U drugi red je potpisao brojeve s kojima se znamenke broja π dopunjavaju do vrijednosti 9 (ispod 1 je potpisao 8, ispod 4 je potpisao 5 itd.). Dobio je strogu simetriju između lijeve i desne strane. Gledano s lijeva na desno uočavamo broj 14…5897 (ispod njega 85…4102). Isti taj broj uočavamo gledamo li s desna na lijevo: 1458…97 (ispod njega 8541…02). U taj broj je s desna na lijevo ubačen broj 15926 (potpisano 84073). U taj isti broj gledano s lijeva na desno ubačen je broj 82053 (potpisano 17946). Ubačeni brojevi i na lijevoj i na desnoj strani imaju nešto zajedničko. U oba slučaja se radi o kompletu brojeva od 0 do 9, dakle o kompletnim dekadama.

No da bi se na desnoj strani dobio broj 1458…97 (ispod njega 8541…02) trebalo je sa lijeve strane prebaciti broj 5. On je tu „višak“. Nalazi se s lijeve strane druge istaknute trojke. Isto tako, da bi se dobila puna dekada ubačena u broj 1458…97 (ispod njega 8541…02). Trebalo joj je dovesti broj 3 koji se nalazi opet uz istaknutu trojku i to onu četvrtu. Lijeva strana niza prvih 38 znamenki broja π jest potpuno simetrična desnoj, ali pod pretpostavkom da se izbace istaknute trojke a tri se znamenke presele na nove pozicije. Uz spomenute 5(4) i 3(6) seliti se mora još broj 9 (0) koji se nalazi s desne strane treće istaknute trojke. On pripada unutrašnjem nizu brojeva koji je s obje strane uokvireni brojevima 23(76).

U tom unutrašnjem nizu opet imamo dvije dekade, lijevu 84962(15037) i desnu posve jednakoj lijevoj ali bez dvije znamenke (84_6_(15_3_). Trebalo bi ih od nekud dovesti ali ne iz niza prvih 38 znamenki jer u njemu nema više nijednog „suvišnog“ broja.

Niz od prvih 38 znamenki broja π krije u sebi četiri pune dekade. Dvije su uklopljene u brojeve 145897(854102) pa bi ih nazvao unutrašnje. Druge dvije su uokvirene brojevima 23(67). Nazvao bi ih vanjskima. Tko zna, ne radi li se ovdje samo o jednoj dekadi koja sebe gleda sa desne strane u lijevoj strani kao u ogledalu. U tom ogledalu vidi da joj nedostaju neki momenti da bi bila ono što treba biti. Nadalje, čini mi se da ta jedna jedina dekada hoće iz broja 145897(8541029) u koji je ubačena, izaći van i da je to upravo ono na što se cjelokupno događanje unutar broja π svodi. Ono se ne događa olako jer brojevi koji drijemaju kod uočenih trojki se ne sele tako lako. A, primijetio sam još neke puno ozbiljnije prepreke koje sprečavaju do spomenutog izlaska dođe. No idemo redom.

Dugo sam se mučio s repatim zvijezdama čiji krakove povezuju ubačene brojeve. Na lijevoj strani je crvena, a na desnoj je plava. Sinulo mi to tek nakon dva sata gledanja i promišljanja. Shvatio sam da krakovi crvene repate zvijezde spajaju brojeve 145897(854102). Zaboga, pa to su oni isti brojevi u kojima je ova dekada uokvirena.

Odmah sam se bacio na odgonetanje plave zvijezde. Tu sam uočio vezu brojeva 6180348(381965). Na svoje veliko čuđenje uočio sam da se iste zvijezde mogu izvesti i u dekadama koje su uokvirene brojevima 23(67). Ima jedna razlika: unutrašnje dekade su tako strukturirane da se ne mogu u svakoj od njih izvesti obje zvijezde odnosno oba kompleksa brojeva. U desnoj unutrašnjoj dekadi se može izvesti samo crvena zvijezda, odnosno samo brojevi 145897, (854102). U lijevoj pak samo plava zvijezda, odnosno samo brojevi 6180348(381965). Vanjske dekade su strukturirane tako da se i u lijevoj i u desnoj, uostalom čine ih isti brojevi, mogu izvesti obje zvijezde, odnosno oba sklopa brojeva. U ovome vidim kako može doći do izlaska dekade iz unutrašnje u vanjsku. Nije dovoljno da se presele ona tri broja. Potrebno je da se unutrašnja dekada u potpunosti prestrukturira tako da u njoj neće biti čitljiv sam jedan od dva momenta već oba. Kad se to dogodi, ona se iz unutrašnje pretvara u vanjsku. Ali prije toga u vanjsku dekadu na desnoj strani moraju od nekud stiči brojevi 9(0),2(7) koji još fale. Vjerojatno je to povezano sa događanjem broja π u preostalim znamenkama tamo do 73. Jesam li u pravu?

[sbrbot]

Ljudi šta samo stojite i gledate, neka netko pomogne čovjeku ...

[skeptik]

Hasu, jel mozes napraviti slicnu analizu sa brojevima na lotu izvucenih u zadnjih godinu dana?

[hasu]

Skeptiče, ne mogu odgovoriti na ovo pitanje. Ne znam što ti misliš pod "sličnom analizom", odnosno na koju to analizu misliš.
Da li misliš na ono isto što mislim ja, na ono što sam na slici prikazao i popratnim tekstom obrazložio. Drugim riječima: da li na slici možeš vidjeti ono što ja vidim? Možeš li razumjeti sliku i priloženi tekst? Ja ne znam što ti na slici vidiš i kako to povezuješ sa tekstom jer mi ni jednom riječju to nisi dao do znanja.

Biti skeptik ne znači a priori, prije uvida nešto osporavati. Sama riječ "skeptik" dolazi od grčkog glagola koji znači istraživati, promišljati, imati uvid u nešto (usporedi sa riječima mikroskop, teleskop). Dakle, kaži mi skeptiče:
što ti u gornjoj slici vidiš,
kako razumiješ popratni tekst,
vidiš li nesklad između na slici prikazanog i u tekstu izrečenog?

Tek ću Ti nakon toga moći odgovoriti. Učinit ću to veoma rado.

[El Ninho]

sbrbot kaže:

Ljudi šta samo stojite i gledate, neka netko pomogne čovjeku ...

Sve mi se čini da si ti mislio na ovakvu pomoć

[Batt_X]

hasu kaže:

Skeptiče, ne mogu odgovoriti na ovo pitanje. Ne znam što ti misliš pod "sličnom analizom", odnosno na koju to analizu misliš..

Skeptik hoće reći da su te stvori proizvoljne. Možeš uvijek na svakom skupu slučajno izvučenih brojeva kontruirati neki takav uzorak.
Decimale broja PI pak imaju, statistički gledano jednaku zastupljenost (kvadratna raspodjela) i odgovaraju bijelom šumu.

[hasu]

Batt_X kaže:

Skeptik hoće reći da su te stvori proizvoljne. Možeš uvijek na svakom skupu slučajno izvučenih brojeva kontruirati neki takav uzorak.

Neki takav sigurno da. Ali ovdje se ne radi o tamo nekom uzorku. Pogledaj!

[skeptik]

Batt_X kaže:

Skeptik hoće reći da su te stvori proizvoljne. Možeš uvijek na svakom skupu slučajno izvučenih brojeva kontruirati neki takav uzorak.
Decimale broja PI pak imaju, statistički gledano jednaku zastupljenost (kvadratna raspodjela) i odgovaraju bijelom šumu.

[hasu]

El Ninho kaže:

Sve mi se čini da si ti mislio na ovakvu pomoć

Pa zar ovdje neko zove u pomoć? Za kakvu pomoć, zaboga? Čovjek bi htio s ljudima za koje vjeruje da nisu ravnodušni spram broja pi proslaviti njegov dan.

[justapixel]

hasu kaže:

Pa zar ovdje neko zove u pomoć? Za kakvu pomoć, zaboga? Čovjek bi htio s ljudima za koje vjeruje da nisu ravnodušni spram broja pi proslaviti njegov dan.

Što ti točno smatraš ravnodušnošću i kakve emocije želiš da ljudi imaju prema tvom broju? Eto ja znam gomilu načina za izračunati broj pi, znam štošta o njemu i jako puno sam ga koristio, pa sam opet poprilično siguran da bih se u malo toga vezanog uz taj broj s tobom složio.

.

[Batt_X]

Meni je puno bolje spomenuti Buffonovu metodu sa šibicama. Pogledajte ovo:

http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html

[hasu]

justapixel kaže:

Što ti točno smatraš ravnodušnošću i kakve emocije želiš da ljudi imaju prema tvom broju? Eto ja znam gomilu načina za izračunati broj pi, znam štošta o njemu i jako puno sam ga koristio, pa sam opet poprilično siguran da bih se u malo toga vezanog uz taj broj s tobom složio.

.

Pod ravnodušnošću podrazumijevam nezainteresiranost prema nečemu što je mnogima interesantno, tajnovito, nedovoljno istraženo pa poziva na nova razmišljanja.

Kako izračunati broj pi je samo jedan od fenomena prema kojima ne možemo
biti ravnodušni. Meni je čudno da se do njega može doći i na način na koji upozorava Batt x. Još mi je čudnije da se on može utvrditi i u
U Mandelbrotovom skupu i to na veliki broj decimala na veliki broj decimala (sve ovisi o preciznosti kompjuterske izvedbe fraktala). Ta je odredba izvediva iz otvora vratiju koja vode iz srcolike petlje u male krugove. (Ovo je otkrio Dave Boll godine 1991. Materijal je objavljen u dvije knjige čiji su autori Peitgen, Jurgens i Saupe: "Chaos and Fractals" (Springer –Verlag 1992) str. 859-862, i "Fractals for the Classrom" (Springer –Verlag 1992) drugi dio, str. 431-434.

Ono drugo prema čemu u broju pi ne bi trebali biti ravnodušni je postojanje (ne)pravilnosti u redanju njegovih decimala. U vezi toga najveću težinu, barem za mene, ima otkriće američkog matematičara T.E. Lobecka objavljenom u Mathematics Magazine, str.67-98, Vol.61, No.2, April 1988 i str.148-163, Vol.61, No.3, June, 1988.

T.E. Lobeck je došao na ideju da prvih 25 znamenki broja pi pogleda unutar magičnog kvadrata od 25 polja. Prvu znamenku broja  (3) stavio je u polje kvadrata gdje se nalazi broj 1. Drugu znamenku (1) stavio je u polje gdje se nalazi broj 2, treću znamenku (4) stavio je u polje gdje se nalazi broj 3, i tako redom sve do 25. znamenke. Tako je nastao novi magični kvadrat.

2 4 3 6 9
3 5 2 7 3
1 9 9 4 2
3 8 8 6 4
5 3 3 1 5


Zbroj brojeva u izvornom magičnom kvadratu u svim vodoravnim, horizontalnim i dijagonalnim linijama je 65. To je značajka koja taj kvadrat čini «magičnim». Slična magičnost uspostavljena je i u kvadratu koji je nastao upisivanjem prvih 25 znamenki broja pi. U njemu neće zbroj u svim vodoravnim, okomitim i dijagonalnim nizovima biti isti, ali će zbroj u prvom stupcu (17) odgovarati zbroju u petom redu (17); zbroj u drugom stupcu (29) zbroju u četvrtom redu (29); ); zbroj u trećem stupcu (25) zbroju u trećem redu (25); ); zbroj u četvrtom stupcu (24) zbroju u prvom redu (24); ); zbroj u petom stupcu (23) zbroju u drugom redu (23); Zbroj brojeva u jednoj dijagonali je 27 a u drugoj 38 što zajedno daje 65 (zbroj brojeva po dijagonalama, redovima i stupcima u originalnom kvadratu od 25 polja).

Za mene to otkriće ima težinu jer je ono vezano za ovo što je prezentirano na ovih pet od Sanjina prokomentiranih slika. Sve te slike počivaju zapravo na prvih 25 znamenki broja pi i na onim pravilno raspoređenim trojkama. (Pogledaj kako se i u magičnom kvadratu vidi poseban položaj onih četiriju trojki.) U vrijeme kad sam došao do ovih pet slika nisam znao za Lobeckovo otkriće. Kad sam za njega saznao nisam bio ravnodušan. O svojim emocijama pritom ne bih govorio. Isto tako ni od koga ne očekujem nikakve emocije.

Ne razumijem zašto broj pi nazivaš mojim brojem, i kako već unaprijed znaš da bi se "sa malo toga vezano uz taj broj mogao sa mnom složiti."

[Sheky]

Batt_X kaže:

Skeptik hoće reći da su te stvori proizvoljne. Možeš uvijek na svakom skupu slučajno izvučenih brojeva kontruirati neki takav uzorak.
Decimale broja PI pak imaju, statistički gledano jednaku zastupljenost (kvadratna raspodjela) i odgovaraju bijelom šumu.

Ja mislim da je mislio na nesto ovakvo. Dakle, pod pretpostavkom da su sve kuglice idealno jednake tezine, oblika i cega vec ne, tada bi imali savrseno jednake vjerovatnosti izlaska bilo kojeg broja iz bubnja. Posto mi pricamo o realnim uvijetima, to nije slucaj. Zbog tih nesavrsenosti neki brojevi se pojavljuju cesce nego drugi. Smatram da bi se iz dovoljno velikog uzorka moglo nac koji su brojevi na kuglicama vise vjerovatni a koji manje te bi si time povecali sansu dobitka na lotu. Naravno kljuc sveg je znati kad dolazi do smjene uporabe kuglica, tj. znati u kojem intervalu uzimati mjerenja.

[justapixel]

hasu kaže:

Ne razumijem zašto broj pi nazivaš mojim brojem, i kako već unaprijed znaš da bi se "sa malo toga vezano uz taj broj mogao sa mnom složiti."

Ono s "tvojim brojem" je bio lapsus, ali sad a posteriori mi je prikladan, jer zaista imamo različita viđenja broja pi. Što se tiče one druge tvrdnje, intuicija mi se pokazala točna, bar zasad. Tvoje divljenje broju pi ekvivalentno je divljenju boji slova kojom je taj broj napisan. Promašuješ bit i gubiš se u kabalističkim trivijalijama.

.

[Batt_X]

Sheky kaže:

Ja mislim da je mislio na nesto ovakvo. Dakle, pod pretpostavkom da su sve kuglice idealno jednake tezine, oblika i cega vec ne, tada bi imali savrseno jednake vjerovatnosti izlaska bilo kojeg broja iz bubnja. Posto mi pricamo o realnim uvijetima, to nije slucaj. Zbog tih nesavrsenosti neki brojevi se pojavljuju cesce nego drugi. Smatram da bi se iz dovoljno velikog uzorka moglo nac koji su brojevi na kuglicama vise vjerovatni a koji manje te bi si time povecali sansu dobitka na lotu. Naravno kljuc sveg je znati kad dolazi do smjene uporabe kuglica, tj. znati u kojem intervalu uzimati mjerenja.

U milijun decimala broja PI, svaka znamenka se pojavljuje približno jednako puta.
Na što više decimala broja PI ideš, to ćeš dobivati sve bolju kvadratnu raspodjelu.

[hasu]

Sheky kaže:

Ja mislim da je mislio na nesto ovakvo. Dakle, pod pretpostavkom da su sve kuglice idealno jednake tezine, oblika i cega vec ne, tada bi imali savrseno jednake vjerovatnosti izlaska bilo kojeg broja iz bubnja. Posto mi pricamo o realnim uvijetima, to nije slucaj. Zbog tih nesavrsenosti neki brojevi se pojavljuju cesce nego drugi. Smatram da bi se iz dovoljno velikog uzorka moglo nac koji su brojevi na kuglicama vise vjerovatni a koji manje te bi si time povecali sansu dobitka na lotu. Naravno kljuc sveg je znati kad dolazi do smjene uporabe kuglica, tj. znati u kojem intervalu uzimati mjerenja.

Sheky, Batt x, i skeptiče, ako je to što je skeptik pitao u svom pitanju odogovoriti ću, i to niječno. Dakle,ja ne bih mogao sličnu analizu napraviti za brojeve izvučene na lotu u zadnjih godinu dana. Ne bih to mogao ni onda kad bi uvjeti bili idealni, kakve pretpostavlja Sheky.
Mogao bih nešto drugo. Uzeti neku kombinaciju od 9 brojeva i pogledati da li se ta kombinacija pojavljuje, i koliko često u decimalama broja pi. Preko opcije "find" to nije teško, a na mreži su nam na raspolaganju programi koji "izbacuju" broj pi na milijune decimala. To i mnoge slične "pravilnosti" ne govore puno, gotovo ništa.
Ono što ja vidim najprije u prvih 25 znamenki, pa onda u 38 pa konačno u 73 je nešto sasvim drugo. Pokušat ću to prikazati slikovito: uzmete riječi neke Ujevićeve pjesme (na primjer "Pobratimstvo lica u svemiru"), umnožite ih, recimo, milijardu puta, dobro sve promiješate a onda pod savršenim uvjetima bacite da se pomješana slova slobodno slažu jedno iza drugog. Što mislite: da li bi se tako složio barem jedan stih te pjesme (npr. NE GORDI SE! TVOJE MISLI NISU SAMO TVOJE! ONE U DRUGIMA ŽIVE.)? Evo ja u prvih 73 znamenke broja pi čitam jednu takvu pjesmu. Naravno uz predhodnu impostaciju: potpisivanjem brojeva koji se s gornjima nadopunjuju do 9.

[justapixel]

Sheky kaže:

Ja mislim da je mislio na nesto ovakvo. Dakle, pod pretpostavkom da su sve kuglice idealno jednake tezine, oblika i cega vec ne, tada bi imali savrseno jednake vjerovatnosti izlaska bilo kojeg broja iz bubnja. Posto mi pricamo o realnim uvijetima, to nije slucaj. Zbog tih nesavrsenosti neki brojevi se pojavljuju cesce nego drugi. Smatram da bi se iz dovoljno velikog uzorka moglo nac koji su brojevi na kuglicama vise vjerovatni a koji manje te bi si time povecali sansu dobitka na lotu. Naravno kljuc sveg je znati kad dolazi do smjene uporabe kuglica, tj. znati u kojem intervalu uzimati mjerenja.

Takvu stvar možeš utvrditi samo a posteriori metodom, problem je samo što bi ti za smanjenje srednjeg odstupanja u iskoristive granice trebalo izvršiti tu negdje oko beskonačno mjerenja, a to bi vjerojatno izlizalo kuglice. I svemir. A iz rezultata, zapravo i iz same metode, vidilo bi se da daleko veći utjecaj od geometrije ima puka sreća, a sitne asimetričnosti daleko su od toga da te mogu dovesti iz garantiranog prosječnog minusa (=loto) u garantiran plus.

.

[skeptik]

Hasu, ako vec nisi, obavezno procitaj "Kontakt" Carla Sagana. Cak i ako ne volis SF, uvjeren sam da ce te kraj oduseviti.
Necu ti reci zasto da ti ne pokvarim zadovoljstvo.

[hasu]

Sheky kaže:

Ja mislim da je mislio na nesto ovakvo. Dakle, pod pretpostavkom da su sve kuglice idealno jednake tezine, oblika i cega vec ne, tada bi imali savrseno jednake vjerovatnosti izlaska bilo kojeg broja iz bubnja. Posto mi pricamo o realnim uvijetima, to nije slucaj. Zbog tih nesavrsenosti neki brojevi se pojavljuju cesce nego drugi. Smatram da bi se iz dovoljno velikog uzorka moglo nac koji su brojevi na kuglicama vise vjerovatni a koji manje te bi si time povecali sansu dobitka na lotu. Naravno kljuc sveg je znati kad dolazi do smjene uporabe kuglica, tj. znati u kojem intervalu uzimati mjerenja.

Sheky, Batt x, i skeptiče, ako je to što je skeptik pitao u svom pitanju odogovoriti ću, i to niječno. Dakle,ja ne bih mogao sličnu analizu napraviti za brojeve izvučene na lotu u zadnjih godinu dana. Ne bih to mogao ni onda kad bi uvjeti bili idealni, kakve pretpostavlja Sheky.
Mogao bih nešto drugo. Uzeti neku kombinaciju od 9 brojeva i pogledati da li se ta kombinacija pojavljuje, i koliko često u decimalama broja pi. Preko opcije "find" to nije teško, a na mreži su nam na raspolaganju programi koji "izbacuju" broj pi na milijune decimala. To i mnoge slične "pravilnosti" ne govore puno, gotovo ništa.
Ono što ja vidim najprije u prvih 25 znamenki, pa onda u 38 pa konačno u 73 je nešto sasvim drugo. Pokušat ću to prikazati slikovito: uzmete riječi neke Ujevićeve pjesme (na primjer "Pobratimstvo lica u svemiru"), umnožite ih, recimo, milijardu puta, dobro sve promiješate a onda pod savršenim uvjetima bacite da se pomješana slova slobodno slažu jedno iza drugog. Što mislite: da li bi se tako složio barem jedan stih te pjesme (npr. NE GORDI SE! TVOJE MISLI NISU SAMO TVOJE! ONE U DRUGIMA ŽIVE.)? Evo ja u prvih 73 znamenke broja pi čitam jednu takvu pjesmu. Naravno uz dodatnu intervenciju kojom se takvo što ovdje omogućuje: potpisivanje brojeva koji se s gornjima nadopunjuju do 9.

[hasu]

skeptik kaže:

Hasu, ako vec nisi, obavezno procitaj "Kontakt" Carla Sagana. Cak i ako ne volis SF, uvjeren sam da ce te kraj oduseviti.
Necu ti reci zasto da ti ne pokvarim zadovoljstvo.

Skeptiče, e to što si sad napisao zaista je prilog dostojan proslave dana broja pi. Zbog toga ovdje prilažem onaj dio na kraju. Pretpostavljam da misliš na ovo:

«Kako bi netko mogao sakriti poruku u tom broju? On je ugrađen u tkivo svemira. - Ne radi se o osnovnim principima ustrojstva svemira, s preciznim matematskim zakonima koji uvjetuju fiziku i kemiju. U ovom slučaju radi se o poruci. Tko god da je stvorio svemir, sakrio je poruke u transcendentalnim brojevima kako bi ih mogli pročitati za petnaest milijardi godina, kad se razviju zaista inteligentna bića.”
“Ako nas je Bog htio uvjeriti u svoje postojanje, zašto nam nije uputio jasnu poruku... - Zamislite da nešto pronađemo. To ne mora biti ništa užasno komplicirano. Samo nešto mnogo sređenije od činjenice da se u  može slučajno okupiti toliko i toliko brojki. Više nam nije potrebno. U tom bi slučaju matematičari cijelog svijeta mogli pronaći potpuno istu pravilnost ili poruku ili što već ispadne. Nestale bi podjele na sekte. Svatko bi počeo čitati isto Sveto pismo. Tada nitko ne bi mogao tvrditi da je ključno čudo u religiji bio mađioničarski trik, ili da su kasniji povjesničari falsificirali podatke, ili da je samo histerija i obmana, ili zamjena za roditelje kad odrastemo. Svatko bi mogao vjerovati.
U usporedbi s Porukom primljenom s Vege, ovo je u najboljem slučaju mogla biti jednostavna poruka, ali je njena statistička značajnost bila visoka. Program je prerasporedio znamenke u kvadratni raster s jednakim brojem znamenki vodoravno i okomito. Prvi je red sadržavao samo nule. U drugom redu stajala je jedna jedina jedinica. Jednostavni geometrijski lik se brzo oblikovao, red po red, autorefleksivno, potičući očekivanja. Pojavio se i posljednji red lika, same nule osim jedne jedine jedinice u sredini. Daljnji redovi su sadržavali same nule, dio okvira. Skriven u alternirajućim znamenkama, duboku u transcendentnom broju, nalazio se savršen krug čiji su oblik ocrtavale jedinice u polju nula.
Svemir je namjerno stvoren, govorio je krug. U kojoj se god galaksiji našao, uzmi opseg kruga, podijeli ga njegovim promjerom i otkriti ćeš čudo - još jedan krug, nacrtan kilometre iza decimalnog zareza. Dalje se kriju još bogatije poruke. Nije važno kako izgledaš ili od čega si napravljen, ili odakle dolaziš. Ako živiš u ovom svemiru i vladaš donekle matematikom, prije ili poslije pronaći ćeš poruku. Ona je već tu. U svemu. Ne moraš napustiti svoj planet kako bi je pronašao. U tkivu svemira i u prirodi materije, kao i na velikom umjetničkom djelu, ispisan je malim slovima potpis umjetnika. Iznad ljudskih bića, bogova i demona, supsumirajući Čuvare i graditelje tunela, stoji inteligencija koja prethodi svemu. Krug se zatvorio. Pronašla je ono za čime je tragala.”